第 1 节           随机事件

.数学概念与定义

     1. 随机试验与随机事件

       1)随机试验  如果一个试验满足以下条件:

         1°试验可能出现的结果不止一个,试验之前能明确有哪些可能结果;

         2°试验究竟出现哪个结果是随机的,试验之前既不能确定,也不能控制;

         3°试验可以在相同条件下重复进行。

       则称此试验为随机试验。简称试验。

       2)基本事件  一个试验的每个直接可能结果称为该试验的基本事件(或称样本点)。

       3)基本空间  全体基本事件组成的集合称为该试验的基本空间(或称样本空间)。用表示。

       4)随机事件  一个试验的基本事件的集合,称为随机事件,简称事件。

      随机事件常用字母 ABC 等表示。一次试验中某事件发生当且仅当它所包含的某一基本事件发生。

       5)必然事件  基本空间包含所有的基本事件,把它看成一个事件。每次试验它都发生,称为必然事件。

       6)不可能事件  不包含任何基本事件的事件,不论试验出现哪个结果它都不发生,称为不可能事件。

      不可能事件用表示。

     2.事件的关系及运算

       1)事件的和  由事件A和事件B包含的基本事件合并组成的集合,称为事件A与事件B的和,记作

       当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生时,事件发生。

       显然

       类似地,由事件中包含的基本事件合并组成的集合,称为事件的和,记作

       2)事件的积  由所有属于事件A且属于事件B的基本事件组成的集合,称为事件A与事件B的积,记作

       当且仅当事件A与事件B同时发生时,事件A与事件B的积AB发生。

       显然

       类似地,由所有同时属于事件的基本事件组成集合,称为事件的积,记作

       3)事件的差  由所有属于事件A但不属于事件B的基本事件组成的集合,称为事件A与事件B的差,记作

       当且仅当事件A发生但事件B不发生时,事件发生。

       显然,若,则

       4)包含关系  如果事件A发生,事件 B 一定发生,则称事件B包含事件 A,记作,(读作B 包含A)或(读作A 含于B )。

事件B包含事件A的充分必要条件是

       5)事件相等  如果事件B包含事件A,且事件A包含事件B,即同时成立,称事件A与事件B相等,记作

       6)互不相容  如果事件AB不能同时发生,则称事件AB是互不相容的(或称互斥的)。

       事件A与事件B互不相容的充分必要条件是

       类似地,在事件(或可列无穷多个事件)中,如果任意两个事件都是互不相容的,则称事件(或事件)是两两互不相容的。

       7)对立  如果事件A与事件B不能同时发生,且每次试验必有一个发生,则称事件A与事件B互为对立事件(或互逆)。记作

       事件A与事件B对立的充分必要条件是

       可以证明:

.重点、难点分析

     随机试验除满足基本概念,还须满足三个条件,即“可重复性”,“试验前结果未确定性”“全部结果是已知的”。样本空间的元素不能漏掉,应该是一个完备事件组。

    在随机事件的关系中,尤其要注意区分斥事件和逆事件,互斥事件是指,而逆事件指AB 互为对立事件,基本事件是两两互不相容的,AB是互斥事件但不一定是对立事件,但两事件是对立事件就一定是互斥的。

. 典型例题

    例1:用已知事件表达有关的其他的事件:

      1A 发生,而BC 都不发生”可表为

      2ABC 中恰有一个发生”可表为

      3ABC 中恰有两个发生”可表为

      4ABC中不多于一个发生”可表为

       上面的表示法是根据事件的关系与运算,以及事件的运算律得到的。比如(1),单个看,是A发生,B不发生,C 也不发生,所以就是;把“BC 都不发生”一起看,它的逆事件是“BC 中至少一个发生”,即,于是“BC 都不发生”就是,所以结果可以写成