第 1 节           随机事件

一.数学概念与定义

     1. 随机试验与随机事件

       （1）随机试验  如果一个试验满足以下条件：

         1°试验可能出现的结果不止一个，试验之前能明确有哪些可能结果；

         2°试验究竟出现哪个结果是随机的，试验之前既不能确定，也不能控制；

         3°试验可以在相同条件下重复进行。

       则称此试验为随机试验。简称试验。

       （2）基本事件  一个试验的每个直接可能结果称为该试验的基本事件（或称样本点）。

       （3）基本空间  全体基本事件组成的集合称为该试验的基本空间（或称样本空间）。用表示。

       （4）随机事件  一个试验的基本事件的集合，称为随机事件，简称事件。

      随机事件常用字母 A，B，C 等表示。一次试验中某事件发生当且仅当它所包含的某一基本事件发生。

       （5）必然事件  基本空间包含所有的基本事件，把它看成一个事件。每次试验它都发生，称为必然事件。

       （6）不可能事件  不包含任何基本事件的事件，不论试验出现哪个结果它都不发生，称为不可能事件。

      不可能事件用表示。

     2．事件的关系及运算

       （1）事件的和  由事件A和事件B包含的基本事件合并组成的集合，称为事件A与事件B的和，记作

       当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生时，事件发生。

       显然。

       类似地，由事件中包含的基本事件合并组成的集合，称为事件的和，记作

或

       （2）事件的积  由所有属于事件A且属于事件B的基本事件组成的集合，称为事件A与事件B的积，记作

或

       当且仅当事件A与事件B同时发生时，事件A与事件B的积AB发生。

       显然。

       类似地，由所有同时属于事件的基本事件组成集合，称为事件的积，记作

或

       （3）事件的差  由所有属于事件A但不属于事件B的基本事件组成的集合，称为事件A与事件B的差，记作

       当且仅当事件A发生但事件B不发生时，事件发生。

       显然，若，则

       （4）包含关系  如果事件A发生，事件 B 一定发生，则称事件B包含事件 A，记作，（读作B 包含A）或（读作A 含于B ）。

事件B包含事件A的充分必要条件是。

       （5）事件相等  如果事件B包含事件A，且事件A包含事件B，即和同时成立，称事件A与事件B相等，记作。

       （6）互不相容  如果事件A与B不能同时发生，则称事件A与B是互不相容的（或称互斥的）。

       事件A与事件B互不相容的充分必要条件是。

       类似地，在个事件（或可列无穷多个事件）中，如果任意两个事件都是互不相容的，则称事件（或事件）是两两互不相容的。

       （7）对立  如果事件A与事件B不能同时发生，且每次试验必有一个发生，则称事件A与事件B互为对立事件（或互逆）。记作或。

       事件A与事件B对立的充分必要条件是。

       可以证明：。

二.重点、难点分析

     随机试验除满足基本概念，还须满足三个条件，即“可重复性”，“试验前结果未确定性”“全部结果是已知的”。样本空间的元素不能漏掉，应该是一个完备事件组。

    在随机事件的关系中，尤其要注意区分斥事件和逆事件，互斥事件是指，而逆事件指且，A、B 互为对立事件，基本事件是两两互不相容的，A和B是互斥事件但不一定是对立事件，但两事件是对立事件就一定是互斥的。

三. 典型例题

    例1:用已知事件表达有关的其他的事件:

      （1）“A 发生，而B 与C 都不发生”可表为或；

      （2）“A，B，C 中恰有一个发生”可表为；

      （3）“A，B，C 中恰有两个发生”可表为或；

      （4）“A，B，C中不多于一个发生”可表为或。

     注  上面的表示法是根据事件的关系与运算，以及事件的运算律得到的。比如（1），单个看，是A发生，B不发生，C 也不发生，所以就是；把“B，C 都不发生”一起看，它的逆事件是“B，C 中至少一个发生”，即，于是“B，C 都不发生”就是，所以结果可以写成。