第 1 节 随机事件
1. 随机试验与随机事件
(1)随机试验 如果一个试验满足以下条件:
1°试验可能出现的结果不止一个,试验之前能明确有哪些可能结果;
2°试验究竟出现哪个结果是随机的,试验之前既不能确定,也不能控制;
3°试验可以在相同条件下重复进行。
则称此试验为随机试验。简称试验。
(2)基本事件 一个试验的每个直接可能结果称为该试验的基本事件(或称样本点)。
(3)基本空间 全体基本事件组成的集合称为该试验的基本空间(或称样本空间)。用表示。
(4)随机事件 一个试验的基本事件的集合,称为随机事件,简称事件。
随机事件常用字母 A,B,C 等表示。一次试验中某事件发生当且仅当它所包含的某一基本事件发生。
(5)必然事件 基本空间包含所有的基本事件,把它看成一个事件。每次试验它都发生,称为必然事件。
(6)不可能事件 不包含任何基本事件的事件,不论试验出现哪个结果它都不发生,称为不可能事件。
不可能事件用表示。
2.事件的关系及运算
(1)事件的和 由事件A和事件B包含的基本事件合并组成的集合,称为事件A与事件B的和,记作
当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生时,事件发生。
显然。
类似地,由事件中包含的基本事件合并组成的集合,称为事件
的和,记作
或
(2)事件的积 由所有属于事件A且属于事件B的基本事件组成的集合,称为事件A与事件B的积,记作
或
当且仅当事件A与事件B同时发生时,事件A与事件B的积AB发生。
显然。
类似地,由所有同时属于事件的基本事件组成集合,称为事件
的积,记作
或
(3)事件的差 由所有属于事件A但不属于事件B的基本事件组成的集合,称为事件A与事件B的差,记作
当且仅当事件A发生但事件B不发生时,事件发生。
显然,若
,则
(4)包含关系 如果事件A发生,事件 B 一定发生,则称事件B包含事件 A,记作,(读作B 包含A)或
(读作A 含于B )。
事件B包含事件A的充分必要条件是。
(5)事件相等 如果事件B包含事件A,且事件A包含事件B,即和
同时成立,称事件A与事件B相等,记作
。
(6)互不相容 如果事件A与B不能同时发生,则称事件A与B是互不相容的(或称互斥的)。
事件A与事件B互不相容的充分必要条件是。
类似地,在个事件
(或可列无穷多个事件
)中,如果任意两个事件都是互不相容的,则称事件
(或事件
)是两两互不相容的。
(7)对立 如果事件A与事件B不能同时发生,且每次试验必有一个发生,则称事件A与事件B互为对立事件(或互逆)。记作或
。
事件A与事件B对立的充分必要条件是。
可以证明:。
二.重点、难点分析
随机试验除满足基本概念,还须满足三个条件,即“可重复性”,“试验前结果未确定性”“全部结果是已知的”。样本空间的元素不能漏掉,应该是一个完备事件组。
在随机事件的关系中,尤其要注意区分斥事件和逆事件,互斥事件是指,而逆事件指
且
,A、B 互为对立事件,基本事件是两两互不相容的,A和B是互斥事件但不一定是对立事件,但两事件是对立事件就一定是互斥的。
例1:用已知事件表达有关的其他的事件:
(1)“A 发生,而B 与C 都不发生”可表为或
;
(2)“A,B,C 中恰有一个发生”可表为;
(3)“A,B,C 中恰有两个发生”可表为或
;
(4)“A,B,C中不多于一个发生”可表为或
。
注 上面的表示法是根据事件的关系与运算,以及事件的运算律得到的。比如(1),单个看,是A发生,B不发生,C 也不发生,所以就是;把“B,C 都不发生”一起看,它的逆事件是“B,C 中至少一个发生”,即
,于是“B,C 都不发生”就是
,所以结果可以写成
。