第 2 节   概率的古典定义

一.数学概念与定义

    1．频率

     若事件在次试验中发生次，比值称为事件在这次试验中发生的频率，记作，即。

由频率的定义可知频率具有下列性质：

     （1）；

     （2）；

     （3）若事件与事件互不相容，则。

    2.  等可能概型（古典概型）

   如果一个试验的基本空间中只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性是相等的，则称这类试验为等可能概型或古典概型。

在等可能概型中，将

称为事件的概率。概率的这个定义，称为概率的古典定义

    3．几何概型

   设某个区域（线段、平面区域或空间区域）具有度量（长度、面积或体积），如果试验相当于向内任意投掷一质点（所谓任意投掷一质点，就是该质点一定落在内，且落在内任何部分的可能性的大小与这部分的度量成正比，与的位置和形状无关），则称此类试验为几何概型。

在几何概型中质点落入内某一部分区域的概率为

二.重点、难点分析

   1．在古典概率的计算中最重要的是找出样本空间和事件的基本事件数，对于简单试验，可写出样本空间，数出和各自包含的基本事件数；若试验的可能性结果太多，在计算和的基本事件数时，可采用排列或组合的方法。

   2．几何概型的“坐标法”

做几何概型题目，一般一开始难以入手，关键把问题中有关事件转化成几何图形。

一般解题思路是将试验结果用坐标或表示。然后根据样本空间和事件的关系，用几何图形来表示，使解题思路更直观，求出。

   3．古典概型和几何概型计算是以等可能为前提的，是在一种随意或随机方式下发生的，如果不是等可能的话，往往需改变随机试验方式使其等可能，以便应用古典概率和几何概型。

三. 典型例题

 例1  一个寝室中有12名学生，求（1）这个寝室中每月有一个过生日的概率；（2）12个人的生日都集中在假期（2月和8月）的概率。

解：  因为一年有12个月，每人的生日都有12种可能。据乘法原理，基本事件总数为，且是等可能的。

（1）设表示事件“这个寝室每月有一人过生日”。则中包含的基本事件即从12个不同的元素中取12的全排列，共有个。据古典概率公式，有

（2）设表示事件“12个人的生日都在2月和8月”。12个人的生日都在2月和8月，即每个人的生日只有两种可能，据乘法原理，共有个，故

 例2．  箱中有30个球，其中红色、白色、黑色的球各10个，今随机地从中取6个球。试求

（1）取到三种颜色球个数相等的概率；

（2）取到1个红球，2个白球，3个黑球的概率。

解：  从30个球中随机地取6个，共有种取法，且是等可能的。

（1）设表示事件“取到三种颜色球个数相等”。则中包含的基本事件即三种颜色的球各取2个。因此。据古典概率公式，有

（2）设表示事件“取到1个红球，2个白球，3个黑球”。则中包含的基本事件为。因此

 例3．从五双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少？

解：设事件表示“4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双”，表示“取出的4只鞋子中仅有2只配成一双”，表示“4只鞋子配成两双” ．

方法一  从5双不同的鞋子中取出4只共有种方法，中有个样本点，中有个样本点，又由，所以

．

方法二  中的样本点为（从5双中任取一双，再从某余的8只中取不成双的2只），则

．

方法三  表示4只鞋子按如下方法取：在5双不同鞋子中任取4双，每双中再任取1只，取法为，则

．

 例4． 任意取两个不大于1的正数，试问其积大于，其和不大于1的概率。

解 ： 设为任取的两个正数，则为平面上一点。所有点的集合构成基本空间。因此基本空间是由直线围成的正方形。面积为。

直线和曲线的交点坐标为和，围成的图形的面积为

故所求概率为

.