第 4 节   条件概率

.数学概念与定义

     条件概率定义  是一随机试验,中的两个事件,且,则称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率。记作,即

,称

为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率。

. 原理公式和法则

(1)乘法定理  对任意两个事件,若,则有

,则有

个事件,且,则有

2)条件概率的性质

1°对任意事件

2°

3°对中两两互不相容事件,有

4°

5°

(3) 全概率公式与贝叶斯公式

为试验的基本空间,的事件,若

1

2两两互不相容,即当时,

3

上式称为全概率公式。而下式

称为贝叶斯公式。

. 重点、难点分析

1要区分条件概率与概率,它们都以样本空间为总样本,同样样本空间的划分,但它们取概率的前提是不相同的。概率是指在整个样本空间的条件下取值 可能性大小,而条件概率是在事件发生的条件下,事件发生的可能性大小,它们存在联系。当事件设成样本空间。另外条件概率满足概率的基本性质,因此,具有概率的一切运算性质。

2乘法公式是用来计算交事件的概率,由于条件概率往往由观察求得,因而通过容易求得交事件的概率,在按乘法公式计算概率时,要正确求出相关的条件概率才不致出错。

3全概率公式和贝叶斯公式是重点。它们的区别和联系:

区别:全概率公式是应用广泛的一个公式。它把事件概率(不太好求),分成几个比较容易计算的概率之和,看似繁琐,实则简单。在分析问题的过程中,可视为的子事件,或者将看成发生的原因,是结果,而是较易求得的。从而可由“原因”求出“结果”。

贝叶斯公式有时称为后验概率公式,它实际上是条件概率。是在已知结果发生的情况下,求导致结果的某种原因的可能性大小。比如求,当(常用全概率公式计算)。较易求得时,就要用贝叶斯公式,它是由“结果”求“原因”。

. 典型例题

1  已知,求:(1;(2;(3;(4

:  1

2

3

4

2  有两批相同的产品,第一批12件,第二批10件,每批产品中有一件废品。从第一批中任意地抽出一件混入第二批中,然后再从第二批中任意地抽出一件产品,求从第二批产品中抽出废品的概率。

:  表示事件“从第二批中抽出废品”。设表示事件“从第一批中抽出正品”。表示事件“从第一批中抽取废品”。则互不相容,且。据全概率公式,得

3  已知所生产的产品中96%是良好的。用简化的检查方法辨认良好产品是合格品的概率为0.98,而误认为废品是合格品的概率为0.05,求以简化检查法检查合格的一件产品确实是良好的概率。

:  表示事件“产品被检查合格”。表示事件“被检查的产品是良好的”。表示事件“被检查的产品是废品”。则。由已知

据全概率公式,得到

所求概率为

4  三名猎人同时独立射击一只狼,有一发子弹命中。如果三名猎人射击一次命中的概率分别为0.20.40.6。求该狼是第一名猎人、第二名猎人或第三名猎人命中的概率。

:  表示事件“有一发子弹命中”。设为“第名射手命中,另外两名射手未命中”。设为“第名射手命中”。则

据独立性

于是

所求概率为

故该狼是由第一、二、三名射手命中的概率分别为0.1030.2760.621