第 4 节 条件概率
一.数学概念与定义
条件概率定义 设是一随机试验,
是
中的两个事件,且
,则称
为在事件
发生的条件下,事件
发生的条件概率。记作
,即
若,称
为在事件发生的条件下,事件
发生的条件概率。
二. 原理公式和法则
(1)乘法定理 对任意两个事件,若
,则有
若,则有
若为
个事件,且
,则有
(2)条件概率的性质
1°对任意事件,
。
2°。
3°对中两两互不相容事件
,有
4°
5°。
(3) 全概率公式与贝叶斯公式
设为试验
的基本空间,
及
为
的事件,若
(1),
;
(2)两两互不相容,即当
时,
;
(3),
则
上式称为全概率公式。而下式
称为贝叶斯公式。
三. 重点、难点分析
1.要区分条件概率与概率
,它们都以样本空间
为总样本,同样样本空间的划分,但它们取概率的前提是不相同的。概率
是指在整个样本空间
的条件下取值
可能性大小,而条件概率
是在事件
发生的条件下,
事件发生的可能性大小,它们存在联系。当事件
设成样本空间
,
。另外条件概率满足概率的基本性质,因此,具有概率的一切运算性质。
2.乘法公式是用来计算交事件的概率,由于条件概率往往由观察求得,因而通过容易求得交事件
的概率,在按乘法公式计算概率时,要正确求出相关的条件概率才不致出错。
3.全概率公式和贝叶斯公式是重点。它们的区别和联系:
区别:全概率公式是应用广泛的一个公式。它把事件概率(不太好求),分成几个比较容易计算的概率之和,看似繁琐,实则简单。在分析问题的过程中,
可视为
的子事件,或者将
看成
发生的原因,
是结果,而
及
是较易求得的。从而可由“原因”求出“结果”。
贝叶斯公式有时称为后验概率公式,它实际上是条件概率。是在已知结果发生的情况下,求导致结果的某种原因的可能性大小。比如求,当
(常用全概率公式计算)。
,
较易求得时,就要用贝叶斯公式,它是由“结果”求“原因”。
四. 典型例题
例1 已知,求:(1)
;(2)
;(3)
;(4)
。
解: (1)
(2)
(3)
(4)
例2 有两批相同的产品,第一批12件,第二批10件,每批产品中有一件废品。从第一批中任意地抽出一件混入第二批中,然后再从第二批中任意地抽出一件产品,求从第二批产品中抽出废品的概率。
解: 设表示事件“从第二批中抽出废品”。设
表示事件“从第一批中抽出正品”。
表示事件“从第一批中抽取废品”。则
与
互不相容,且
。据全概率公式,得
例3 已知所生产的产品中96%是良好的。用简化的检查方法辨认良好产品是合格品的概率为0.98,而误认为废品是合格品的概率为0.05,求以简化检查法检查合格的一件产品确实是良好的概率。
解: 设表示事件“产品被检查合格”。
表示事件“被检查的产品是良好的”。
表示事件“被检查的产品是废品”。则
。
。由已知
据全概率公式,得到
所求概率为
例4 三名猎人同时独立射击一只狼,有一发子弹命中。如果三名猎人射击一次命中的概率分别为0.2、0.4和0.6。求该狼是第一名猎人、第二名猎人或第三名猎人命中的概率。
解: 设表示事件“有一发子弹命中”。设
为“第
名射手命中,另外两名射手未命中”。设
为“第
名射手命中”。则
,
,
据独立性
于是
所求概率为
故该狼是由第一、二、三名射手命中的概率分别为0.103、0.276和0.621。