第 4 节   条件概率

一.数学概念与定义

     条件概率定义  设是一随机试验，是中的两个事件，且，则称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率。记作，即

若，称

为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率。

二. 原理公式和法则

(1）乘法定理  对任意两个事件，若，则有

若，则有

若为个事件，且，则有

（2）条件概率的性质

1°对任意事件，。

2°。

3°对中两两互不相容事件，有

4°

5°。

(3) 全概率公式与贝叶斯公式

设为试验的基本空间，及为的事件，若

（1），；

（2）两两互不相容，即当时，；

（3），

则

上式称为全概率公式。而下式

称为贝叶斯公式。

三. 重点、难点分析

1．要区分条件概率与概率，它们都以样本空间为总样本，同样样本空间的划分，但它们取概率的前提是不相同的。概率是指在整个样本空间的条件下取值 可能性大小，而条件概率是在事件发生的条件下，事件发生的可能性大小，它们存在联系。当事件设成样本空间，。另外条件概率满足概率的基本性质，因此，具有概率的一切运算性质。

2．乘法公式是用来计算交事件的概率，由于条件概率往往由观察求得，因而通过容易求得交事件的概率，在按乘法公式计算概率时，要正确求出相关的条件概率才不致出错。

3．全概率公式和贝叶斯公式是重点。它们的区别和联系：

区别：全概率公式是应用广泛的一个公式。它把事件概率（不太好求），分成几个比较容易计算的概率之和，看似繁琐，实则简单。在分析问题的过程中，可视为的子事件，或者将看成发生的原因，是结果，而及是较易求得的。从而可由“原因”求出“结果”。

贝叶斯公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的情况下，求导致结果的某种原因的可能性大小。比如求，当（常用全概率公式计算）。，较易求得时，就要用贝叶斯公式，它是由“结果”求“原因”。

四. 典型例题

例1  已知，求：（1）；（2）；（3）；（4）。

解:  （1）

（2）

（3）

（4）

例2  有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，每批产品中有一件废品。从第一批中任意地抽出一件混入第二批中，然后再从第二批中任意地抽出一件产品，求从第二批产品中抽出废品的概率。

解:  设表示事件“从第二批中抽出废品”。设表示事件“从第一批中抽出正品”。表示事件“从第一批中抽取废品”。则与互不相容，且。据全概率公式，得

例3  已知所生产的产品中96%是良好的。用简化的检查方法辨认良好产品是合格品的概率为0.98，而误认为废品是合格品的概率为0.05，求以简化检查法检查合格的一件产品确实是良好的概率。

解:  设表示事件“产品被检查合格”。表示事件“被检查的产品是良好的”。表示事件“被检查的产品是废品”。则。。由已知

据全概率公式，得到

所求概率为

例4  三名猎人同时独立射击一只狼，有一发子弹命中。如果三名猎人射击一次命中的概率分别为0.2、0.4和0.6。求该狼是第一名猎人、第二名猎人或第三名猎人命中的概率。

解:  设表示事件“有一发子弹命中”。设为“第名射手命中，另外两名射手未命中”。设为“第名射手命中”。则

，，

据独立性

于是

所求概率为

故该狼是由第一、二、三名射手命中的概率分别为0.103、0.276和0.621。