第 5 节 随机事件的独立性
一.数学概念与定义
随机事件的独立性
(1)设是一个试验中的两个事件,如果
则称与
是相互独立的事件。
(2)设是一试验中的三个事件,且满足
则称三事件是两两相互独立的事件。
(3)设是一个试验中的
个事件,如果其中任意
个事件的积的概率等于这
个事件中各个事件概率的乘积,则称这
个事件相互独立。
二. 原理公式和法则
(1)设是两个事件,当
时,
与
相互独立的充分必要条件是
;当
时,
相互独立的充分必要条件是
。
(2)如果事件与
相互独立,则
与
,
与
及
与
都是相互独立的。
(3)当个事件相互独立时,其中任意
个事件取对立事件后,所得到的
个事件仍是相互独立的。
例如:若相互独立,则
等等都是相互独立的。
三. 重点、难点分析
1.事件的独立性(重点)
在概率论中,事件的独立是个非常重要的概念,概率论和数理统计的许多内容都是在独立的前提下讨论的。在实际应用中,我们常根据实际背景判断事件的独立性。
2.两随机事件的相互独立性
事件与
相互独立的定义为
。当
时,我们可理解为
即
事件发生的概率是否和
事件是否发生没有关系,也即A、B 相互独立。特殊:当
时,则
,则
,即零概率事件与其他任何事件独立,另外,概率为1的事件也与任何事件
独立(注:概率为1的事件与必然事件
并不等同,
的概率为1,但概率为1的事件不一定就是
。
四. 典型例题
例1 已知事件与事件
是相互独立的,试证
与
是相互独立的。
证: 由已知。于是
即与
是相互独立的。
例2 甲、乙、丙三人同时独立地对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。问三人至少有一人击中的概率是多少?
解: 设表示第
人击中。则所求概率为
。据独立性,得