第 5 节   随机事件的独立性

一.数学概念与定义

  随机事件的独立性

（1）设是一个试验中的两个事件，如果

则称与是相互独立的事件。

（2）设是一试验中的三个事件，且满足

则称三事件是两两相互独立的事件。

（3）设是一个试验中的个事件，如果其中任意个事件的积的概率等于这个事件中各个事件概率的乘积，则称这个事件相互独立。

二. 原理公式和法则

（1）设是两个事件，当时，与相互独立的充分必要条件是；当时，相互独立的充分必要条件是。

（2）如果事件与相互独立，则与，与及与都是相互独立的。

（3）当个事件相互独立时，其中任意个事件取对立事件后，所得到的个事件仍是相互独立的。

例如：若相互独立，则等等都是相互独立的。

三. 重点、难点分析

1．事件的独立性（重点）

    在概率论中，事件的独立是个非常重要的概念，概率论和数理统计的许多内容都是在独立的前提下讨论的。在实际应用中，我们常根据实际背景判断事件的独立性。

2．两随机事件的相互独立性

    事件与相互独立的定义为。当时，我们可理解为 即事件发生的概率是否和事件是否发生没有关系，也即A、B 相互独立。特殊：当时，则，则，即零概率事件与其他任何事件独立，另外，概率为1的事件也与任何事件独立（注：概率为1的事件与必然事件并不等同，的概率为1，但概率为1的事件不一定就是。

四. 典型例题

例1 已知事件与事件是相互独立的，试证与是相互独立的。

证:  由已知。于是

即与是相互独立的。

例2  甲、乙、丙三人同时独立地对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。问三人至少有一人击中的概率是多少？

解:  设表示第人击中。则所求概率为。据独立性，得