第 1 节 随机变量及其分布函数
一.数学概念与定义
1.随机变量的概念
设试验的基本空间
。对于试验
的每个基本事件
,规定一个实数
,当基本事件
发生时,变量
取值
,则
是一个定义在基本空间
上的单值函数,称
为随机变量。
2.随机变量的分布函数
设是一个随机变量,对任意实数
,定义函数
称函数为随机变量
的概率分布函数或分布函数。
二.原理公式和法则
分布函数的性质
1°;
2°;
3°是一个单调增加的函数;
4°是右连续的,即
;
三. 重点、难点分析
随机变量虽然是一个实值单值函数,但它和微积分中讨论的函数有着本质的区别:①随机变量的定义域是样本空间,不一定是实数值。②随机变量X 取值在试验前不是确定的,可能取实轴上的任何一点,而且它的取值是有一定概率的。③随机变量X是随机事件的数量化。
随机变量的分布函数分离散型和非离散型两种;对离散型随机变量我们可用分布律来求分布函数,只要确定,
。再用
就可以计算出分布函数,一般离散型随机变量的分布函数都是分段函数,而非离散型随机变量分布函数的计算就比较复杂,应注意:非离散型随机变量在取任一指定的实数值的概率都等于0,一般我们都是考虑随机变量的值落在某一区间的概率。
四. 典型例题
例:1.一汽车沿街道行驶,要通过三个均设有红、绿灯的路口,各个信号灯显示红或绿色彼此独立,且红、绿两种信号显示的时间相等.以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,试求
的分布律和分布函数.
解:由题设可知,的可能取值为0,1,2,3.设
表示汽车在第
个路口首次遇到红灯,
=1,2,3;
,
,
相互独立,且
,于是
所以的分布律为
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0.5 |
0.25 |
0.125 |
0.125 |
由此可得的分布函数为