第 1 节  随机变量及其分布函数

一.数学概念与定义

    1.随机变量的概念

      设试验的基本空间。对于试验的每个基本事件,规定一个实数,当基本事件发生时,变量取值,则是一个定义在基本空间上的单值函数,称为随机变量。

    2.随机变量的分布函数

      设是一个随机变量,对任意实数,定义函数

称函数为随机变量的概率分布函数或分布函数。

二.原理公式和法则

     分布函数的性质

      1°

      2°

      3°是一个单调增加的函数;

      4°是右连续的,即

 

. 重点、难点分析

    随机变量虽然是一个实值单值函数,但它和微积分中讨论的函数有着本质的区别:①随机变量的定义域是样本空间,不一定是实数值。②随机变量X 取值在试验前不是确定的,可能取实轴上的任何一点,而且它的取值是有一定概率的。③随机变量X是随机事件的数量化。

    随机变量的分布函数分离散型和非离散型两种;对离散型随机变量我们可用分布律来求分布函数,只要确定。再用就可以计算出分布函数,一般离散型随机变量的分布函数都是分段函数,而非离散型随机变量分布函数的计算就比较复杂,应注意:非离散型随机变量在取任一指定的实数值的概率都等于0,一般我们都是考虑随机变量的值落在某一区间的概率。

. 典型例题

    例:1一汽车沿街道行驶,要通过三个均设有红、绿灯的路口,各个信号灯显示红或绿色彼此独立,且红、绿两种信号显示的时间相等.以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,试求的分布律和分布函数.

    解:由题设可知,的可能取值为0123.设表示汽车在第路口首次遇到红灯,=123相互独立,且,于是

所以的分布律为

0

1

2

3

0.5

0.25

0.125

0.125

由此可得的分布函数为