第 1 节  随机变量及其分布函数

一.数学概念与定义

    1．随机变量的概念

      设试验的基本空间。对于试验的每个基本事件，规定一个实数，当基本事件发生时，变量取值，则是一个定义在基本空间上的单值函数，称为随机变量。

    2．随机变量的分布函数

      设是一个随机变量，对任意实数，定义函数

称函数为随机变量的概率分布函数或分布函数。

二.原理公式和法则

     分布函数的性质

      1°；

      2°；

      3°是一个单调增加的函数；

      4°是右连续的，即；

 

三. 重点、难点分析

    随机变量虽然是一个实值单值函数，但它和微积分中讨论的函数有着本质的区别：①随机变量的定义域是样本空间，不一定是实数值。②随机变量X 取值在试验前不是确定的，可能取实轴上的任何一点，而且它的取值是有一定概率的。③随机变量X是随机事件的数量化。

    随机变量的分布函数分离散型和非离散型两种；对离散型随机变量我们可用分布律来求分布函数，只要确定，。再用就可以计算出分布函数，一般离散型随机变量的分布函数都是分段函数，而非离散型随机变量分布函数的计算就比较复杂，应注意：非离散型随机变量在取任一指定的实数值的概率都等于0，一般我们都是考虑随机变量的值落在某一区间的概率。

四. 典型例题

    例:1．一汽车沿街道行驶，要通过三个均设有红、绿灯的路口，各个信号灯显示红或绿色彼此独立，且红、绿两种信号显示的时间相等．以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，试求的分布律和分布函数．

    解：由题设可知，的可能取值为0，1，2，3．设表示汽车在第个路口首次遇到红灯，=1，2，3；，，相互独立，且，于是

所以的分布律为

由此可得的分布函数为