第 2 节 离散型随机变量及其概率分布
一. 数学概念与定义
如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无穷多个值,则称为离散型随机变量。
若离散型随机变量可能取的值为
,
取
的概率为
,即
则称上式为随机变量的概率分布(或分布律)。
1.概率分布的性质
,并且
。)
2.离散型随机变量的分布函数
若是离散型随机变量,
的分布律为
则的分布函数为
3.几种重要的离散型随机变量
(1)(0-1)分布
在一次试验中,事件发生的概率为
,以
表示一次试验中事件
发生的次数,则
只能取1和0两个值,
的概率分布为
这个分布称为(0-1)分布,记成。
任何一个试验中,如果只关心某事件A发生与否,则可定义
则(0-1)分布。
(2)二项分布
如果在一次试验中事件发生的概率为
,以
表示在
次试验(即
重贝努利试验)中事件
发生的次数(不管是在哪
次试验中发生的),则
是一个随机变量,
可能取的值为
的概率分布为
这个分布称为参数为的二项分布。记作
。
(3)泊松分布
如果随机变量的概率分布为
其中是常数,称
服从参数为
的泊松分布。记作
。
(4)几何分布
事件在一次试验中发生的概率为
,将此试验独立重复进行,直到
发生为止,以
表示事件
首次发生时的试验次数,则
是一个随机变量,
可能取的值为
的概率分布为
的分布称为几何分布。
4.泊松定理
设随机变量,其概率分布为
其中是与
有关的数,
,(
是常数),则有
由泊松定理可知,如果,并且
很大,
很小
,则有以下近似公式
其中。
三. 重点、难点分析
要掌握一个离散型随机变量的统计规律必须且只需知道
的所有可能取的值以及取每个可能值的概率。
在判断是否是离散型的随机变量的概率分布时,看该式是否满足
且
。
四. 典型例题
例1: 设试验成功的概率为,失败的概率为
,重复独立试验直到成功两次和三次为止,分别求所需试验次数的概率分布。
解: 设表示直到成功两次为止所需试验次数,则
是随机变量,
可能取的值为
。
事件,即前
次中有一次成功(不论哪一次),并且第
次成功。由于各次试验是独立进行的,每一个“前
次试验中有一次成功,并且第
次成功”这样的基本事件的概率均为
。而前
次试验中有一次成功,又有
种情况,即可以第一次成功,第二次成功…或第
次成功。故
的概率分布为
设表示直到成功三次为止所需试验次数,则
可能取的值为
。
事件即前
次试验中有两次成功,并且第
次成功。同理可得
的概率分布为
。
例2: 某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次独立地取5件产品进行检验,如果发现其中的次品数大于1,就去调试设备。以表示一天中调试设备的次数,求
的分布律。
解: 设为取出的5件产品中的次品数,则
。于是
而即为每次检查后设备需要调试的概率。独立检查4次,调试设备的次数
服从参数为4,0.082的二项分布,即
例3: 箱内装有5件产品,其中2件次品。假设每次随机地取一件检查,取后不放回,直到查出全部次品为止。设所需检查次数为。
(1)求的分布律;
(2)求的分布函数。
解: (1)因为共有5件产品,其中2件次品,可能取的值显然为2,3,4,5。
设表示“第
次取正品”。据乘法定理,可得
故的分布律为
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2 |
3 |
4 |
5 |
P |
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(2)当时,
当时,
当时,
当时,
当时,
综上得的分布函数为