3    连续型随机变量及其概率密度

一.数学概念与定义

     连续型随机变量的概念

     对随机变量,若存在一个非负函数,对任意实数,都有

     则称为连续型随机变量,为随机变量的概率密度函数,简称为概率密度。

二.原理公式和法则

     1.概率密度函数性质

       设为连续型随机变量的概率密度,则有性质:

         1°

         2°

         3°对任意实数,若,则

         4°连续型随机变量取某一数值的概率为零,即

         5°是连续型随机变量,的概率密度为,并且点连续,则

     2.几种重要的连续型随机变量

       1)均匀分布

         若随机变量的概率密度函数为

         则称在区间上服从均匀分布。

       2)指数分布

         若随机变量的概率密度为

         其中为常数,则称服从参数为的指数分布。

 

. 重点、难点分析

       1对于连续型随机变量 X 来说,由定义可知,改变概率密度在个别点的函数值不影响分布函数的取值,因此,并不在乎改变概率密度及在个别点上的值。

       2对于连续型随机变量来说,它取任一指定实数值的概率均为0,即,实际上由分布函数可知

       时,由拉格朗日中值定理可知,即

       显然,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间,例如有

       要注意,事件并非不可能事件,但有

. 典型例题

       1:  设随机变量的概率密度为

        (1)求常数;(2)求的分布函数

        解  1)据概率密度函数的性质

       应有

,解得

        (2)据公式,分布函数

        当时,在,因此

       时,在上,,在,因此

       的分布函数为

       2.设随机变量的概率密度为

       试求:(1)系数

       2落在内的概率.

       解:

       1)由概率密度函数性质,有

       所以             

       2

       例3某种产品的寿命(单位:h)具有概率密度

       现有一大批这种产品,从中任取5件,问至少有两件寿命超过1500h的概率为多少?

       解:,则由已知条件,得

       又设发生的次数为,则

       所以