第 3 节 连续型随机变量及其概率密度
一.数学概念与定义
连续型随机变量的概念
对随机变量,若存在一个非负函数
,对任意实数
,都有
则称为连续型随机变量,
为随机变量
的概率密度函数,简称为概率密度。
1.概率密度函数性质
设为连续型随机变量
的概率密度,则
有性质:
1°;
2°;
3°对任意实数和
,若
,则
4°连续型随机变量取某一数值的概率为零,即
。
5°若是连续型随机变量,
的概率密度为
,并且
在
点连续,则
。
2.几种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
若随机变量的概率密度函数为
则称在区间
上服从均匀分布。
(2)指数分布
若随机变量的概率密度为
其中为常数,则称
服从参数为
的指数分布。
三. 重点、难点分析
1.对于连续型随机变量 X 来说,由定义可知,改变概率密度在个别点的函数值不影响分布函数
的取值,因此,并不在乎改变概率密度及在个别点上的值。
2.对于连续型随机变量来说,它取任一指定实数值
的概率均为0,即
,实际上由分布函数可知
当时,由拉格朗日中值定理可知
,即
。
显然,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间,例如有
要注意,事件并非不可能事件,但有
。
四. 典型例题
例1: 设随机变量的概率密度为
(1)求常数;(2)求
的分布函数
解: (1)据概率密度函数的性质
应有
,解得
。
(2)据公式,分布函数
当时,在
上
,因此
当时,在
上,
,在
上
,因此
故的分布函数为
例 2.设随机变量的概率密度为
试求:(1)系数;
(2)落在
内的概率.
解:
(1)由概率密度函数性质,有
.
所以 .
(2).
例3.某种产品的寿命(单位:h)具有概率密度
现有一大批这种产品,从中任取5件,问至少有两件寿命超过1500h的概率为多少?
解:设,则由已知条件,得
又设发生的次数为
,则
.
所以