第 3 节    连续型随机变量及其概率密度

一．数学概念与定义

     连续型随机变量的概念

     对随机变量，若存在一个非负函数，对任意实数，都有

     则称为连续型随机变量，为随机变量的概率密度函数，简称为概率密度。

二．原理公式和法则

     1．概率密度函数性质

       设为连续型随机变量的概率密度，则有性质：

         1°；

         2°；

         3°对任意实数和，若，则

         4°连续型随机变量取某一数值的概率为零，即

。

         5°若是连续型随机变量，的概率密度为，并且在点连续，则。

     2．几种重要的连续型随机变量

       （1）均匀分布

         若随机变量的概率密度函数为

         则称在区间上服从均匀分布。

       （2）指数分布

         若随机变量的概率密度为

         其中为常数，则称服从参数为的指数分布。

 

三. 重点、难点分析

       1．对于连续型随机变量 X 来说，由定义可知，改变概率密度在个别点的函数值不影响分布函数的取值，因此，并不在乎改变概率密度及在个别点上的值。

       2．对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值的概率均为0，即，实际上由分布函数可知

       当时，由拉格朗日中值定理可知，即。

       显然，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间，例如有

       要注意，事件并非不可能事件，但有。

四. 典型例题

       例1：  设随机变量的概率密度为

        （1）求常数；（2）求的分布函数

        解：  （1）据概率密度函数的性质

       应有

，解得。

        （2）据公式，分布函数

        当时，在上，因此

       当时，在上，，在上，因此

       故的分布函数为

      例 2．设随机变量的概率密度为

       试求：（1）系数；

       （2）落在内的概率．

       解：

       （1）由概率密度函数性质，有

．

       所以              ．

       （2）．

       例3．某种产品的寿命（单位：h）具有概率密度

       现有一大批这种产品，从中任取5件，问至少有两件寿命超过1500h的概率为多少？

       解：设，则由已知条件，得

       又设发生的次数为，则．

       所以