第 5 节 连续型随机变量及其概率密度
一.数学概念与定义
随机变量的函数的定义
设是一个实变量函数,
和
是两个随机变量。如果当随机变量
取
时,随机变量
取
,
,则称随机变量
是随机变量
的函数。记作
。
(1)离散型随机变量的函数的分布
设离散型随机变量的分布律为
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… |
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… |
P |
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… |
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… |
是
的函数,则
也是一个离散型随机变量,
的分布律为
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… |
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… |
P |
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若当中有相等的,则它们是
可能取的同一个值,此时只须列出一个,同时把对应的概率相加作为
取这个值的概率。
(2)连续型随机变量的函数分布
求连续型随机变量的函数
的分布有两种方法:
方法一:假设函数处处可导,并且
(或
)。若连续型随机变量
的概率密度为
,则
是一个连续型随机变量,其概率密度为
其中是
的反函数。而
。
注意:若在不相重叠的区间上逐段单调,则可用上述公式逐段求概率密度,然后相加。
方法二:设随机变量的概率密度为
,随机变量
,函数
在不相重叠的区间上是逐段单调的,若求
的概率密度,可先求
的分布函数
。据分布函数的定义
把代入上式右端,得
若当且仅当随机变量取值为集合
时,
,则事件
与事件
相等,于是
从而的分布函数为
据分布函数与概率密度函数之间的关系,得的概率密度为
。
三. 重点、难点分析
随机变量函数的分布是本章的难点,我们可把随机变量X一般可分成离散型和连续型两类。
(1)设X是离散型随机变量,其概率分布表是
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… |
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也是一个离散型随机变量,
,如果诸
值互不相等,则
的概率分布为:
Y |
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… |
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… |
Y |
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… |
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… |
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… |
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当,
,…,
,…不是互不相等的,应把那些相等的值分别合并,并根据概率的加法公式把相应的
相加,来得到
概率分布。
(2)连续型随机变量X的函数
连续型随机变量的函数的分布是本章最复杂内容,对公式,
我们很容易忽略绝对值符号。
使用方法二求函数的分布的关键是寻找与事件相等的事件
。也就是确定当
取值落在那个区间上时,
。
四. 典型例题
例1: 设随机变量服从参数为
的指数分布,求
的概率密度。
解: 由已知的概率密度为
先求的分布函数。因为
,事件
与
相等,于是
的分布函数
上式中把的分布函数用
的分布函数表示出来了。
将上式两端对求导数,得
上式中又把的概率密度用
的概率密度表示出来了。而
的概率密度是已知的。
当时,即
时,
当时,即
时,
于是得的概率密度为
例2: 设随机变量在
上服从均匀分布,(1)求
的概率密度;(2)求
的概率密度。
解: 由已知的概率密度为
(1)当时,
的分布函数
将上式两端对求导,得
因为当时,
,所以
的概率密度为
(2)的分布函数
将上式两端对求导,得
因为当时,
,所以
的概率密度为