第 5 节 连续型随机变量及其概率密度
一．数学概念与定义
随机变量的函数的定义
设
是一个实变量函数，
和
是两个随机变量。如果当随机变量取
时，随机变量取
，，则称随机变量是随机变量的函数。记作
。
二．理公式和法则
（1）离散型随机变量的函数的分布
设离散型随机变量的分布律为
|
|
|
|
… |
|
… |
| P |
|
|
… |
|
… |
是的函数，则也是一个离散型随机变量，的分布律为
|
|
|
|
… |
|
… |
| P |
|
|
|
若
当中有相等的，则它们是可能取的同一个值，此时只须列出一个，同时把对应的概率相加作为取这个值的概率。
（2）连续型随机变量的函数分布
求连续型随机变量的函数
的分布有两种方法：
方法一：假设函数处处可导，并且
（或
）。若连续型随机变量的概率密度为
，则是一个连续型随机变量，其概率密度为
其中
是
的反函数。而
。
注意：若在不相重叠的区间上逐段单调，则可用上述公式逐段求概率密度，然后相加。
方法二：设随机变量的概率密度为，随机变量，函数在不相重叠的区间上是逐段单调的，若求的概率密度，可先求的分布函数
。据分布函数的定义
把代入上式右端，得
若当且仅当随机变量取值为集合
时，
，则事件
与事件
相等，于是
从而的分布函数为
据分布函数与概率密度函数之间的关系，得的概率密度为
。
三. 重点、难点分析
随机变量函数的分布是本章的难点，我们可把随机变量X一般可分成离散型和连续型两类。
（1）设X是离散型随机变量，其概率分布表是
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
也是一个离散型随机变量，
，如果诸
值互不相等，则
的概率分布为：
| Y |
|
|
|
… |
|
… |
| Y |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
当
，
，…，
，…不是互不相等的，应把那些相等的值分别合并，并根据概率的加法公式把相应的
相加，来得到概率分布。
（2）连续型随机变量X的函数
连续型随机变量的函数的分布是本章最复杂内容，对公式
，
我们很容易忽略绝对值符号。
使用方法二求函数的分布的关键是寻找与事件相等的事件。也就是确定当取值落在那个区间上时，。
四. 典型例题
例1: 设随机变量服从参数为
的指数分布，求
的概率密度。
解: 由已知的概率密度为
先求的分布函数。因为，事件
与
相等，于是的分布函数
上式中把的分布函数用的分布函数表示出来了。
将上式两端对求导数，得
上式中又把的概率密度用的概率密度表示出来了。而的概率密度是已知的。
当
时，即
时，
当
时，即
时，
于是得的概率密度为
例2: 设随机变量在
上服从均匀分布，（1）求
的概率密度；（2）求
的概率密度。
解: 由已知的概率密度为
（1）当时，的分布函数
将上式两端对求导，得
因为当
时，
，所以的概率密度为
（2）的分布函数
将上式两端对求导，得
因为当
时，
，所以的概率密度为
