第 1 节 二维随机变量
一.数学概念与定义
1.二维随机变量的概念
设是一个随机试验,
是它的基本空间,在
上定义两个随机变量
和
,写成向量的形式
,称为二维随机变量(或二维随机向量)。
称为二维随机变量的分量。
2.二维随机变量的分布函数
分布函数的定义
设是二维随机变量,对任意实数
,定义二元函数
称函数为二维随机变量
的分布函数,或者称为随机变量
和
的联合分布函数。
3.二维离散型随机变量
(1)离散型随机变量的定义
若二维随机变量所有可能取的值是有限对或可列无限多对时,则称
是离散型随机变量。
(2)离散型随机变量的概率分布
设二维随机变量所有可能取的值为
,
取
的概率为
,即
则称上式为二维随机变量的概率分布(或
的联合分布律)
显然
4.二维连续型随机变量
连续型随机变量的定义
设()为二维随机变量,如果存在非负函数
,使对任意实数
,都有
则称为连续型随机变量,称
为二维随机变量
的概率密度(或
的联合概率密度。)
1.分布函数的性质
1°,并且对任意固定的
与
,
。
2°是
或
的单调增加函数。即对于任意固定的
,当
时,
;对于任意固定的
,当
时,
。
3°关于
右连续,关于
也右连续,即
,
。
2.离散型随机变量的分布函数
3.概率密度函数的性质
1°;
2°;
3°设是
平面上的一个区域,则
落在
内的概率等于其概率密度在
上的二重积分,即
4°设是
的分布函数,则
5°若在点
连续,则有
4.两种常用的连续型随机变量
1°均匀分布
设是平面上的有界区域,其面积为
,若二维随机变量
具有概率密度
则称在
上服从均匀分布。
2°正态分布
若二维随机变量的概率密度为
其中及
均匀常数,并且
,则称
服从二维正态分布。
当二维正态分布的概率密度中时,有
当时,概率密度为
1.相对于单个随机变量特征是为了揭示随机现象的统计规律,二维随机变量是为了揭示两个随机变量的相依关系,如何从二维分布求出各个随机变量自身的分布,如何求出相应的随机事件 (
是
中的子集)的概率正是本章研究的对象。
2. 二维随机变量的性质,不仅与
及
有关,而且依赖于它们之间相互关系,也即对于二维随机变量
,不仅要逐个讨论
和
的性质,而且还要把
作为一个整体讨论。
3.二维连续随机变量落在平面区域
内的概率等于其联合概率密度
在
上的二重积分;即
。
当是分区域定义时,为计算上述二重积分,应先找出
取值非零的区域与积分区域的交集,然后再在此交集上选择积分次序化为两次定积分。
四. 典型例题
例1: 口袋里有3个红球,2个白球及3个篮球,随机地从口袋中取出三个球。设分别表示取出的3个球中的红球数和白球数,求
、
的联合分布律。
解: 由已知口袋里有3个红球,取出3个球,所以可能取的值为0,1,2,3;因为口袋里只有2个白球,
可能取的值为0,1,2。因此二维族随机变量
可能取的值为
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)
(2,0),(2,1),(3,0)
口袋中共有3+2+3=8个球,从中任取3个球有种取法;事件
即“取1个红球,2个白球,0个篮球”。据组合公式及等可能概型,有
一般
;
;
的分布律如下表:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
例2: 设二维随机变量的概率密度为
试求:(1)系数;(2)
。
解: (1)因为概率密度函数应满足条件
而
因此,令,得
。
(2)事件表示随机变量
可能取的值
满足关系式
,因此,
即二维随机变量
落在圆域:
内的概率。所以