3 节   随机变量的独立性

一.数学概念与定义

     相互独立的定义

     设是二维随机变量,若对于任意的实数,事件相互独立,即

     则称随机变量相互独立。

二.原理公式和法则

    独立的充分必要条件

      1°分别为的分布函数。则相互独立的充分必要条件是对任意实数,有

      2°是离散型随机变量,相互独立的充分必要条件是对任意可能取的值,都有

      3°是连续型随机变量,分别为的概率密度,则相互独立的充分必要条件为对任意实数,有

 

. 重点、难点分析

    随机变量相互独立是一个重要概念,以后要经常用到它。

    对二维连续型随机变量,它们独立性可根据公式  是否成立来判断

     由于一般是分段函数,故也一般是分段函数。

. 典型例题

   例1:  一袋中有9张纸条,纸条上分别标有12,…,9中的一个数,从袋中任取一张纸条,观察其上的数字,定义两个随机变量如下:

     (1)求的联合分布律和边缘分布律;

     (2)问是否相互独立?

   解1)由已知,可能取的值为(00),(01),(10)和(11)。

   事件表示取出的数是奇数且能被3整除,只有当取到的是39这两个数时,该事件发生,据等可能概型知

   事件表示取出的数是奇数且不能被3整除,只有当取到的是1573个数时该事件发生,因此

    类似地可求得

   由的联合分布可求出的边缘分布

   同理可得

   综上计算得的联合分布律及关于和关于的边缘分布律如下表:

        

0

1

的分布律

0

1

的分布律

 

   (2)因为,而。于是,所以不相互独立。

   例2:设随机变量的联合密度函数为

    试求: 1)常数

           (2)关于的边缘密度函数.

    解:

     (1)根据

     所以

                                    

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