第 3 节   随机变量的独立性

一．数学概念与定义

     相互独立的定义

     设是二维随机变量，若对于任意的实数和，事件和相互独立，即

     则称随机变量与相互独立。

二．原理公式和法则

    独立的充分必要条件

      1°设和分别为，和的分布函数。则与相互独立的充分必要条件是对任意实数，有

      2°设是离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件是对任意可能取的值，都有

      3°设是连续型随机变量，、和分别为，和的概率密度，则与相互独立的充分必要条件为对任意实数，有

 

三. 重点、难点分析

    随机变量与相互独立是一个重要概念，以后要经常用到它。

    对二维连续型随机变量，它们独立性可根据公式  是否成立来判断

     由于一般是分段函数，故也一般是分段函数。

四. 典型例题

   例1:  一袋中有9张纸条，纸条上分别标有1，2，…，9中的一个数，从袋中任取一张纸条，观察其上的数字，定义两个随机变量如下：

     （1）求的联合分布律和边缘分布律；

     （2）问与是否相互独立？

   解:  （1）由已知，可能取的值为（0，0），（0，1），（1，0）和（1，1）。

   事件表示取出的数是奇数且能被3整除，只有当取到的是3或9这两个数时，该事件发生，据等可能概型知

   事件表示取出的数是奇数且不能被3整除，只有当取到的是1，5，7这3个数时该事件发生，因此

    类似地可求得

   由的联合分布可求出的边缘分布

   同理可得

   综上计算得的联合分布律及关于和关于的边缘分布律如下表：

   （2）因为，而。于是，所以与不相互独立。

   例2:设随机变量的联合密度函数为

    试求： （1）常数；

           （2）关于和的边缘密度函数．

    解：

     （1）根据得

     所以．

     即                               

     （2）