第 3 节 随机变量的独立性
一.数学概念与定义
相互独立的定义
设是二维随机变量,若对于任意的实数
和
,事件
和
相互独立,即
则称随机变量与
相互独立。
独立的充分必要条件
1°设和
分别为
,
和
的分布函数。则
与
相互独立的充分必要条件是对任意实数
,有
2°设是离散型随机变量,
与
相互独立的充分必要条件是对
任意可能取的值
,都有
3°设是连续型随机变量,
、
和
分别为
,
和
的概率密度,则
与
相互独立的充分必要条件为对任意实数
,有
三. 重点、难点分析
随机变量与
相互独立是一个重要概念,以后要经常用到它。
对二维连续型随机变量,它们独立性可根据公式
是否成立来判断
由于一般是分段函数,故
也一般是分段函数。
四. 典型例题
例1: 一袋中有9张纸条,纸条上分别标有1,2,…,9中的一个数,从袋中任取一张纸条,观察其上的数字,定义两个随机变量如下:
(1)求的联合分布律和边缘分布律;
(2)问与
是否相互独立?
解: (1)由已知,可能取的值为(0,0),(0,1),(1,0)和(1,1)。
事件表示取出的数是奇数且能被3整除,只有当取到的是3或9这两个数时,该事件发生,据等可能概型知
事件表示取出的数是奇数且不能被3整除,只有当取到的是1,5,7这3个数时该事件发生,因此
类似地可求得
由的联合分布可求出
的边缘分布
同理可得
综上计算得的联合分布律及关于
和关于
的边缘分布律如下表:
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(2)因为,而
。于是
,所以
与
不相互独立。
例2:设随机变量的联合密度函数为
试求: (1)常数;
(2)关于和
的边缘密度函数.
解:
(1)根据得
所以.
即
(2)