第 4 节   随机变量简单函数的概率分布

一．数学概念与定义

    两个随机变量的函数的概念

    设是二维随机变量，是二元函数。若当取值时，随机变量取，则称是的函数。记成。

    随机变量的函数的分布的概念

    设的概率密度为，随机变量，则的分布函数为

F

    对于比较简单的函数，利用上式可以求出函数的分布函数。

二．原理公式和法则

    （1）的分布

      1°若与为离散型随机变量，的联合分布律为

        则的分布律为

      2°若与为连续型随机变量，的联合概率密度为，则的概率密度为

        若与相互独立，则

    （2）关于和的分布的一些重要结论

       1°若相互独立，且服从同一（0-1）分布，分布律为

         则随机变量服从参数为，的二项分布，即。

       2°若随机变量与相互独立，并且都服从二项分布：，则随机变量服从参数为的二项分布，即。

       3°若随机变量与相互独立，并且都服从泊松分布：，则随机变量服从参数为的泊松分布，即。

       4°若随机变量与相互独立，并且都服从正态分布： ，则随机变量服从参数为，的正态分布，即。

三. 重点、难点分析

    函数的分布

     （1）对随机变量，若，属于连续型随机变量，函数的分布可要二重积分定义来计算，但一般比较麻烦，当，相互独立时，我们可用卷积公式简化运算

或

     （2）对离散型随机变量，函数的分布

四. 典型例题

   例1: 设随机变量相互独立，而且在区间[0，1]上服从均匀分布，服从参数的指数分布，求的概率密度。

     解:  把已知，的概率密度分别为

       用卷积公式

       由于上式中的被积函数为

       所以

       当时

       当时

       当时

       综上得的概率密度为