第 1 节 数学期望
一.数学概念与定义
(1)离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量的分布律为
若级数绝对收敛,则称此级数的和为随机变量
的数学期望,记作
,即
若不绝对收敛,则称
的数学期望不存在。
(2)连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量的概率密度为
,若广义积分
绝对收敛,则称其为随机变量
的数学期望。记作
。即
(1)一维随机变量的函数
的数学期望。
1°若是离散型随机变量,
的分布律为
则当级数绝对收敛时,有
2°若是连续型随机变量,
的概率密度为
,则当广义积分
绝对收敛时,有
(2)二维随机变量的函数
的数学期望
1°若为离散型随机变量,
的分布律为
则
此处要求右端的级数绝对收敛。
2°若为连续型随机变量,
的概率密度为
,则
此处要求右端的积分绝对收敛。
(3)数学期望的性质
1°。
2°。
3°。
4°若和
是两个相互独立的随机变量,则
三. 重点、难点分析
随机变量的数学期望是一个重要的概念,我们要把它理解好,并能熟练计算。
1.随机变量的分布函数能够完整描述随机变量的统计特征,但在一些实际问题中,不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的某些特征,因而并不需要求出它的分布函数。数学期望,方差等数字特征虽不能完整地描述随机变量,但能描述随机变量在某些方面的重要特征,因而在理论上和实践上具有重要的意义。
2.若需求随机变量的函数
的数学期望时,不必算出
的分布律或概率密度,而只需利用
的分布律或概率密度就可以了,这就是引入了数学期望等数字特征的优点。
四. 典型例题
例1.以表示同时投掷的四枚硬币中出现正面的个数,求
.
解:由已知条件可得的分布律为
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
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|
|
|
|
即
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1/16 |
4/16 |
6/16 |
4/16 |
1/16 |
所以 .
例2: 设随机变量,求
的数学期望。
解: 由已知的概率密度为
据随机变量的函数的数学期望的计算公式,得
例3: 设件产品中有
件次品,现从中任取
次产品,每次取一件,取后不放回。设
表示取出的
件产品中的次品数,求
的数学期望。
解: 定义随机变量
则
据抽签的合理性可知的分布律为
因此
据期望的性质,有