1 节   数学期望

一.数学概念与定义

   1)离散型随机变量的数学期望

      设离散型随机变量的分布律为

      若级数绝对收敛,则称此级数的和为随机变量的数学期望,记作,即

      若不绝对收敛,则称的数学期望不存在。

   2)连续型随机变量的数学期望

      设连续型随机变量的概率密度为,若广义积分绝对收敛,则称其为随机变量的数学期望。记作。即

二.原理公式和法则

   1)一维随机变量的函数的数学期望

      1°是离散型随机变量,的分布律为

      则当级数绝对收敛时,有

     2°是连续型随机变量,的概率密度为,则当广义积分绝对收敛时,有

   2)二维随机变量的函数的数学期望

      1°为离散型随机变量,的分布律为

      则

      此处要求右端的级数绝对收敛。

     2°为连续型随机变量,的概率密度为,则

      此处要求右端的积分绝对收敛。

   (3)数学期望的性质

      1°

      2°

      3°

      4°是两个相互独立的随机变量,则

. 重点、难点分析

   随机变量的数学期望是一个重要的概念,我们要把它理解好,并能熟练计算。

    1随机变量的分布函数能够完整描述随机变量的统计特征,但在一些实际问题中,不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的某些特征,因而并不需要求出它的分布函数。数学期望,方差等数字特征虽不能完整地描述随机变量,但能描述随机变量在某些方面的重要特征,因而在理论上和实践上具有重要的意义。

    2若需求随机变量的函数的数学期望时,不必算出的分布律或概率密度,而只需利用的分布律或概率密度就可以了,这就是引入了数学期望等数字特征的优点。

. 典型例题

   1表示同时投掷的四枚硬币中出现正面的个数,求

     解:由已知条件可得的分布律为

0

1

2

3

4

      即

0

1

2

3

4

1/16

4/16

6/16

4/16

1/16

      所以 

   2:  设随机变量,求的数学期望。

     解 由已知的概率密度为

       据随机变量的函数的数学期望的计算公式,得

   3:  件产品中有件次品,现从中任取次产品,每次取一件,取后不放回。设表示取出的件产品中的次品数,求的数学期望。

     解:  定义随机变量

   

          

          据抽签的合理性可知的分布律为

          因此

          据期望的性质,有