第 1 节   数学期望

一．数学概念与定义

   （1）离散型随机变量的数学期望

      设离散型随机变量的分布律为

      若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量的数学期望，记作，即

      若不绝对收敛，则称的数学期望不存在。

   （2）连续型随机变量的数学期望

      设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分绝对收敛，则称其为随机变量的数学期望。记作。即

二．原理公式和法则

   （1）一维随机变量的函数的数学期望。

      1°若是离散型随机变量，的分布律为

      则当级数绝对收敛时，有

     2°若是连续型随机变量，的概率密度为，则当广义积分绝对收敛时，有

   （2）二维随机变量的函数的数学期望

      1°若为离散型随机变量，的分布律为

      则

      此处要求右端的级数绝对收敛。

     2°若为连续型随机变量，的概率密度为，则

      此处要求右端的积分绝对收敛。

   （3）数学期望的性质

      1°。

      2°。

      3°。

      4°若和是两个相互独立的随机变量，则

三. 重点、难点分析

   随机变量的数学期望是一个重要的概念，我们要把它理解好，并能熟练计算。

    1．随机变量的分布函数能够完整描述随机变量的统计特征，但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数。数学期望，方差等数字特征虽不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征，因而在理论上和实践上具有重要的意义。

    2．若需求随机变量的函数的数学期望时，不必算出的分布律或概率密度，而只需利用的分布律或概率密度就可以了，这就是引入了数学期望等数字特征的优点。

四. 典型例题

   例1．以表示同时投掷的四枚硬币中出现正面的个数，求．

     解：由已知条件可得的分布律为

	0	1	2	3	4

      即

	0	1	2	3	4
	1/16	4/16	6/16	4/16	1/16

      所以  ．

   例2:  设随机变量，求的数学期望。

     解:  由已知的概率密度为

       据随机变量的函数的数学期望的计算公式，得

   例3:  设件产品中有件次品，现从中任取次产品，每次取一件，取后不放回。设表示取出的件产品中的次品数，求的数学期望。

     解:  定义随机变量

   

          则

          据抽签的合理性可知的分布律为

          因此

          据期望的性质，有