第 2 节 方差
一.数学概念与定义
方差定义
设是一个随机变量,且
存在,称
为
的方差,记作
,即
称为
的标准差或均方差。
1.若为离散型随机变量,
的分布律为
则的方差为
若为连续型随机变量,
的概率密度为
,则
的方差为
2.由方差的定义还可以得到方差的另一个计算公式:
3.方差性质
1°
2°
3°若与
相互独立,则
三. 重点、难点分析
1.随机变量的数学期望反映
取值的集中位置,方差反映
的取值对其数学期望的集中程度。
越小,
的取值越集中,若
,则
。因此,
和
粗略地反映了
取值的分布律,尽管分布不能完全由它的期望和方差所确定,而期望与方差在实际问题中容易估计其值,所以它们在理论和实用中有重要意义。
2.若取值比较集中,则
较小,反之,若取值比较分散,则
较大。即
是刻画
取值分散程度的一个量,是衡量
取值分散程度的一个尺度。
3.在运用方差的性质时,须注意它与期望性质的不同。尤其注意到关系只有当诸
相互独立时才成立。关系式
不能视为
。
四. 典型例题
例1: 某人有把钥匙,其中只有一把能打开某一扇门,今任取一把试开,不能打开者除去,求打开此门所需试开次数
的数学期望和方差。
解: 试开次数可能取的值为
。据抽签的合理性,第几次取到能打开门的钥匙的概率都是
。于是得
的分布律为
的数学期望为
例2: 设随机变量的概率密度为
求的数学期望和方差。
解 : (因为被积函数为奇函数)。
(因为被积函数为偶函数)。故
例3:设随机变量的概率密度为
已知,
,求系数
.
解:因为,所以
.
又由,因此
而
故
联立解方程组,得,
,
.