2    方差

一.数学概念与定义

    方差定义 

      设是一个随机变量,且 存在,称的方差,记作,即

      的标准差或均方差。

二.原理公式和法则

    1为离散型随机变量,的分布律为

     则的方差为

     若为连续型随机变量,的概率密度为,则的方差为

    2由方差的定义还可以得到方差的另一个计算公式

    3.方差性质

       1°

       2°

       3°相互独立,则

 

. 重点、难点分析

    1随机变量的数学期望反映取值的集中位置,方差反映的取值对其数学期望的集中程度。越小,的取值越集中,若 ,则 。因此,粗略地反映了取值的分布律,尽管分布不能完全由它的期望和方差所确定,而期望与方差在实际问题中容易估计其值,所以它们在理论和实用中有重要意义。

    2取值比较集中,则较小,反之,若取值比较分散,则较大。即是刻画取值分散程度的一个量,是衡量取值分散程度的一个尺度。

    3在运用方差的性质时,须注意它与期望性质的不同。尤其注意到关系只有当诸 相互独立时才成立。关系式不能视为

. 典型例题

   1:  某人有把钥匙,其中只有一把能打开某一扇门,今任取一把试开,不能打开者除去,求打开此门所需试开次数的数学期望和方差。

    解:  试开次数可能取的值为。据抽签的合理性,第几次取到能打开门的钥匙的概率都是。于是得的分布律为

的数学期望为

   2:  设随机变量的概率密度为

   求的数学期望和方差。

     : (因为被积函数为奇函数)。

      (因为被积函数为偶函数)。故

   例3:设随机变量的概率密度为

     已知,求系数

   解:因为,所以

     又由,因此

     

     

                 

     联立解方程组,得