第 2 节   方差

一．数学概念与定义

    方差定义 

      设是一个随机变量，且 存在，称为的方差，记作，即

      称为的标准差或均方差。

二．原理公式和法则

    1．若为离散型随机变量，的分布律为

     则的方差为

     若为连续型随机变量，的概率密度为，则的方差为

    2．由方差的定义还可以得到方差的另一个计算公式：

    3．方差性质

       1°

       2°

       3°若与相互独立，则

 

三. 重点、难点分析

    1．随机变量的数学期望反映取值的集中位置，方差反映的取值对其数学期望的集中程度。越小，的取值越集中，若 ，则 。因此，和粗略地反映了取值的分布律，尽管分布不能完全由它的期望和方差所确定，而期望与方差在实际问题中容易估计其值，所以它们在理论和实用中有重要意义。

    2．若取值比较集中，则较小，反之，若取值比较分散，则较大。即是刻画取值分散程度的一个量，是衡量取值分散程度的一个尺度。

    3．在运用方差的性质时，须注意它与期望性质的不同。尤其注意到关系只有当诸 相互独立时才成立。关系式不能视为。

四. 典型例题

   例1:  某人有把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数的数学期望和方差。

    解:  试开次数可能取的值为。据抽签的合理性，第几次取到能打开门的钥匙的概率都是。于是得的分布律为

的数学期望为

   例2:  设随机变量的概率密度为

   求的数学期望和方差。

    解 : （因为被积函数为奇函数）。

      （因为被积函数为偶函数）。故

   例3:设随机变量的概率密度为

     已知，，求系数．

   解：因为，所以

．

     又由，因此

     而

     故

                 

     联立解方程组，得，，．