第 3 节   协方差与相关系数

一．数学概念与定义

    协方差及相关系数的定义 

     设为二维随机变量，称为随机变量与的协方差，记作，即

     称                                             

     为随机变量与的相关系数。

     注意:当时，称与不相关。

二．原理公式和法则

    1．由定义可得协方差另一个计算公式

    2．协方差及相关系数的性质

     1°对任何随机变量与，恒有

     2°如果随机变量与相互独立，则

     3°相关系数的充分必要条件是

     其中是常数，且

     4°对于任意常数有

 

三. 重点、难点分析

   “不相关”与“相互独立”的区别

      相关系数描述随机变量的两个分量、之间的线性关系紧密程度的特征。当较小时、的线性相关的程度较差；当时称、不相关。不相关是指、之间不存在线性关系；、不相关，它们还可能存在除线性关系之外关系。又由于、相互独立是指、的一般关系而言的，因此有以下的结论：、相互独立则、一定不相关；反之，若、不相关则、不一定相互独立。

四. 典型例题

   例:  设二维随机变量的概率密度为

     试验证和不是相互独立的，且和是不相关的。

   证:  先求和的边缘分布

     当时，；当时

     故

     同理可得

     由于

     故与不相互独立。

     下面求相关系数。

       （被积函数是奇函数）

     

     

     于是

     即与不相关。