第 3 节 协方差与相关系数
一.数学概念与定义
协方差及相关系数的定义
设为二维随机变量,称
为随机变量
与
的协方差,记作
,即
称
为随机变量与
的相关系数。
注意:当时,称
与
不相关。
1.由定义可得协方差另一个计算公式
2.协方差及相关系数的性质
1°对任何随机变量与
,恒有
2°如果随机变量与
相互独立,则
3°相关系数的充分必要条件是
其中是常数,且
4°对于任意常数有
三. 重点、难点分析
“不相关”与“相互独立”的区别
相关系数描述随机变量的两个分量
、
之间的线性关系紧密程度的特征。当
较小时
、
的线性相关的程度较差;当
时称
、
不相关。不相关是指
、
之间不存在线性关系;
、
不相关,它们还可能存在除线性关系之外关系。又由于
、
相互独立是指
、
的一般关系而言的,因此有以下的结论:
、
相互独立则
、
一定不相关;反之,若
、
不相关则
、
不一定相互独立。
四. 典型例题
例: 设二维随机变量的概率密度为
试验证和
不是相互独立的,且
和
是不相关的。
证: 先求和
的边缘分布
当时,
;当
时
故
同理可得
由于
故与
不相互独立。
下面求相关系数。
(被积函数是奇函数)
于是
即与
不相关。