3   协方差与相关系数

一.数学概念与定义

    协方差及相关系数的定义 

     设为二维随机变量,称为随机变量的协方差,记作,即

                                                  

     为随机变量的相关系数。

     注意:时,称不相关。

二.原理公式和法则

    1.由定义可得协方差另一个计算公式

    2.协方差及相关系数的性质

     1°对任何随机变量,恒有

     2°如果随机变量相互独立,则

     3°相关系数的充分必要条件是

     其中是常数,且

     4°对于任意常数

 

. 重点、难点分析

   “不相关”与“相互独立”的区别

      相关系数描述随机变量的两个分量之间的线性关系紧密程度的特征。当较小时的线性相关的程度较差;当时称不相关。不相关是指之间不存在线性关系;不相关,它们还可能存在除线性关系之外关系。又由于相互独立是指的一般关系而言的,因此有以下的结论:相互独立则一定不相关;反之,若不相关则不一定相互独立。

. 典型例题

   :  设二维随机变量的概率密度为

     试验证不是相互独立的,且是不相关的。

   证:  先求的边缘分布

     当时,;当

     

     同理可得

     由于

     不相互独立。

     下面求相关系数

       (被积函数是奇函数)

     

     

     于是

     不相关。