第 1 节   大数定律 

一．    数学概念与定义

   按概率收敛

      设是一个随机变量序列，是一个常数。若对于任意正数，有

   则称随机变量序列按概率收敛于。

二．原理公式和法则

    1．契比雪夫不等式

      设随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，有

（或）

      这一不等式称为契比雪夫不等式。

    2．大数定律

      （1）贝努利大数定律

         设是次试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的概率，则对于任意正数，有

         贝努利大数定律明确给出了频率稳定于概率的方式，即一个事件在次试验中发生的频率，当时是按概率收敛于它的概率的。

      （2）契比雪夫大数定律的特例

         设随机变量序列相互独立，且具有相同的有限的，数学期望和方差，，则对于任意正数，有

         契比雪夫大数定律指出，随机变量序列的前个算术平均构成的随机变量序列按概率收敛于常数。

三. 重点、难点分析

    本节的重点是契比雪夫不等式。难点是理解大数定律。

    事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性就是大数定理引入的客观背景。

    在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时“平均值”也具有稳定性，大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。

四. 典型例题

    例1:  利用契比雪夫不等式估计正态随机变量与其数学期望的偏差大于2倍的均方差和3倍的均方差的概率。

      解:  设，由契比雪夫不等式，对任给，有

      对，有

      对，有