第 2 节   中心极限定理

一．数学概念与定义

      设  的分布函数依次为

      X 的分布函数为 F ( x )．如果对于F ( x ) 的每个连续点  x ，都有   ,   则称随机变量序列依分布收敛于 X ，记为

。

二．原理公式和法则

      中心极限定理

        （1）独立同分布的中心极限定理

           设随机为量相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望及方差，，则随机变量

      的分布函数，对任意实数，满足

      这个定理指出：当很大时，近似服从标准正态分布，又由于

      上式右端是的线性函数，因此近似服从正态分布。即独立同分布随机变量序列前项的和当很大时近似服从正态分布。

    （2）德莫费一拉普拉斯定理

      设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意，有

      上式中是服从二项分布的随机变量经标准化以后得到的随机变量。因此，这个定理说明服从二项分布的随机变量，当参数很大时，经标准化以后近似服从标准正态分布。

 

三. 重点、难点分析

      在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。

      中心极限定理的阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的总和的分布渐近地服从正态分布。一般来说，这些随机变量受到大量独立的因素中每项因素的影响是均匀的，微小的没有一项因素起特别突出的影响，那么就可以断言，这些随机变量的和的分布近似于正态分布。

四. 典型例题

   例：  设某单位设置一电话总机，共有200架分机，每架电话分机有5%的时间要用外线通话，假定每架分机是否使用外线是相互独立的。问总机要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每架分机要使用外线时有外线可供使用？

    解：  我们把检查一架分机是否使用外线看成一次试验，试验有两个结果：“使用”或“不使用”。已知使用的概率为5%。因为每架分机是否使用外线是相互独立的，因此同时检查200架分机可看成200重贝努利试验。设是200架分机中同时使用外线的分机架数（亦即同时使用外线的条数），则

    设总机配置条外线，由题意，应满足

    于是

    即

    据德莫佛一拉普拉斯定理

    所以

    查标准正态分布表得，即

    由此得，故总机需配置14条外线才能以90%的概率保证每架分机要使用外线时就有外线可供使用。