第 1 节 总体与样本
一.数学概念与定义
(1)总体
我们把所研究对象的某项数量指标的所有可能取值的全体,称为总体,总体中的每个元素称为个体。
若总体中包含有限个个体,则称这个总体为有限总体。若总体中包含无限个个体,则称这个总体为无限总体。总体中所包含的个体总数称为总体容量。
我们所研究的总体是一个随机变量,常记作的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。
(2)样本
设总体是具有某一概率分布的随机变量,如果随机变量
相互独立,且都与
具有相同的概率分布,则称
为来自总体
的简单随机样本,简称样本,
称为样本容量。
(3)简单随机抽样
样本就是从总体
中抽出的
个个体,满足以下两个条件:(i)在总体中抽到每个个体的可能性是均等的;(ii)在抽取一个个体之后总体的成分不改变。满足以上两个条件的抽样,称为简单随机抽样。对于无限总体,做不放回抽样就可以看作简单随机抽样。而对于有限总体,做放回抽样才是简单随机抽样,当总体容量很大时,不放回抽样可近似看作简单随机抽样。
在对总体进行一次具体的抽样并做观测之后,得到样本
的确切的数值
,称为样本观察值(或观测值),简称样本值。
样本所有可能取值的全体称为样本空间,记为
,它是
维空间的一个子集。样本观察值
是样本空间中的一个点。
如果总体的分布函数为
,则样本
的联合分布函数为
如果总体为连续型随机变量,且具有概率密度
,则样本
的联合概率密度为
三. 重点、难点分析
本节的重点是理解样本与总体的概念。
由于简单随机样本的分部具有独立同分布的特性,使利用样本或统计量对总体统计特性进行统计分析变得简单化,因为此时,样本分布与总体分布有着简单而直接联系。
四. 典型例题
例: 一批产品中有合格品件,次品
件,总计
件,从中抽取容量为2的样本
,
,求样本
的联合分布。
解: 设随机变量为
则服从(0-1)分布,分布律为
,
由于与
相互独立,且都与总体
同分布,因此
的联合分布律为
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