第 1 节   总体与样本 

一．数学概念与定义

   （1）总体

      我们把所研究对象的某项数量指标的所有可能取值的全体，称为总体，总体中的每个元素称为个体。

      若总体中包含有限个个体，则称这个总体为有限总体。若总体中包含无限个个体，则称这个总体为无限总体。总体中所包含的个体总数称为总体容量。

      我们所研究的总体是一个随机变量，常记作的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。

   （2）样本

      设总体是具有某一概率分布的随机变量，如果随机变量相互独立，且都与具有相同的概率分布，则称为来自总体的简单随机样本，简称样本，称为样本容量。

   （3）简单随机抽样

      样本就是从总体中抽出的个个体，满足以下两个条件：（i）在总体中抽到每个个体的可能性是均等的；（ii）在抽取一个个体之后总体的成分不改变。满足以上两个条件的抽样，称为简单随机抽样。对于无限总体，做不放回抽样就可以看作简单随机抽样。而对于有限总体，做放回抽样才是简单随机抽样，当总体容量很大时，不放回抽样可近似看作简单随机抽样。

      在对总体进行一次具体的抽样并做观测之后，得到样本的确切的数值，称为样本观察值（或观测值），简称样本值。

      样本所有可能取值的全体称为样本空间，记为，它是维空间的一个子集。样本观察值是样本空间中的一个点。

二．原理公式和法则

   如果总体的分布函数为，则样本的联合分布函数为

   如果总体为连续型随机变量，且具有概率密度，则样本的联合概率密度为

 

三. 重点、难点分析

   本节的重点是理解样本与总体的概念。

   由于简单随机样本的分部具有独立同分布的特性，使利用样本或统计量对总体统计特性进行统计分析变得简单化，因为此时，样本分布与总体分布有着简单而直接联系。

四. 典型例题

   例： 一批产品中有合格品件，次品件，总计件，从中抽取容量为2的样本，，求样本的联合分布。

   解： 设随机变量为

    则服从（0-1）分布，分布律为

，

    由于与相互独立，且都与总体同分布，因此的联合分布律为