第 2 节   统计量及其分布

一．数学概念与定义

   （1）统计量的定义

      设是来自总体的一个样本，是的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称为一个统计量。

统计量是样本的函数（不包含未知参数），它是一个随机变量，统计量的概率分布称为抽样分布。

设是样本的观察值，则称为统计量的观察值。

   （2）样本矩

      设是来自总体的一个样本，是这一样本的观察值。称统计量

      为样本均值，称统计量

      为样本方差，称统计量

      为样本标准差（样本均方差），称统计量

      为样本阶原点矩，称统计量

      为样本阶中心矩，它们的观察值分别为

   （3）顺序统计量

      设为总体的一个样本，是一组样本观察值，将这组观察值按由小到大的顺序排列，得到

      取作为的观察值，则称统计量为一组顺序统计量。统计量

      分别称为样本最小值、最大值、中位数和极差。

二. 重点、难点分析

     1．引进统计量的目的是为了将杂乱无章的样本值整理成便于对所研究问题进行统计推断、分析形式。将样本中所含的有关所研究问题的信息集中起来，从 而更有效地揭示出问题的实质，进而得到解决问题的方法。

     统计量的使用目的在于对所研究的问题进行统计推断和分析，如用统计量对未知参数进行估计时，若统计量本身仍含有未知参数，那么就无法根据所测得的样本值求得未知参数的估计值。

     统计量本身虽然不含未知数，但是它的分布却可能含未知参数。如对正态总体，其和为未知数，则统计量，可见其分布中却含有未知参数和。然而，含有未知参数的样本函数其分布却不一定含有未知参数。

     2．数理统计中常见样本方差的两种形式：

;

     这两种形式在统计中会发生的效应是不同的。 由于，所以样本方差是总体方差的无偏估计。因此，一般都是以和为的估计量。而的数学期望。就不是总体方差的无偏估计，而，故当样本容量很大时，和两者相差很小，对于大样本来说，可以用来估计总体方差，因此，有时把称为大样本方差，而称为样本修正方差。

三. 典型例题

     例1：  已知某总体的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，求样本均值、样本方差，顺序统计量的首项与末项、样本中位数与极差的观察值。

     解：

                

          

                                  

                                 

                                 

                                 

   例2． 设总体，为来自的一个样本，求。

     解： 由于，，所以有