第 4 节   几个常用统计量的分布

一．数学概念与定义

    1．分布

      1°分布的定义

       设是来自标准正态总体的样本，则称统计量

       服从自由度为的分布，记作。

      2°分布的上分位点

       设，对于给定的正数，称满足条件

       的点为分布的上分位点。

    2．分布

      1°分布的定义

       设，与相互独立，则称随机变量

       服从自由度为的分布，记作。

      2°分布的上分位点

       设，对于给定的正数，称满足条件

       的点为分布的上分位点，且有

   3．分布

      1°分布的定义

       设，且与相互独立，则称随机变量

       服从第一自由度为、第二自由度为的分布，记作

       2°分布的上分位点

       设，对于给定的正数，称满足条件

       的点为分布的上分位点（如图6-6）。且有

二．原理公式和法则

   1．分布的性质

     （i）若，则；

     （ii）设，且与相互独立，则

   2．分布的性质

     （i）分布的概率密度是偶函数；

     （ii）当很大时，分布近似于分布，即对任意，都有

   3．分布的性质

     若，则。

 

三. 重点、难点分析

    分布、分布、分布及正态分布之间的关系：

      （1）正态分布与分布

       若独立同分布于正态分布，则；

     （2）正态分布，分布与分布

      如果，，且、相互独立，则；

    （3）分布与分布

      如果，，且X、Y相互独立，则；

    （4）分布与分布

       如果，，且X、Y相互独立，则；

    （5）分布与分布

       如果，则；

    （6）分布与正态分布

      如果，则当时，渐近服从正态分布；

    （7）分布与正态分布

      如果，，则当时，渐近服从正态分布；

四. 典型例题

   例1: 设总体，从中抽取样本，设，试确定常数，使随机变量服从分布，并求出分布的自由度。

    解: 因为，，故

     从而可知

     且由相互独立可知与相互独立，于是

     取，有

     自由度的为2。