第 4 节 几个常用统计量的分布
一.数学概念与定义
1.分布
1°分布的定义
设是来自标准正态总体
的样本,则称统计量
服从自由度为的
分布,记作
。
2°分布的上
分位点
设,对于给定的正数
,称满足条件
的点为
分布的上
分位点。
2.分布
1°分布的定义
设,
与
相互独立,则称随机变量
服从自由度为的
分布,记作
。
2°分布的上
分位点
设,对于给定的正数
,称满足条件
的点为
分布的上
分位点,且有
3.分布
1°分布的定义
设,且
与
相互独立,则称随机变量
服从第一自由度为、第二自由度为
的
分布,记作
2°分布的上
分位点
设,对于给定的正数
,称满足条件
的点为
分布的上
分位点(如图6-6)。且有
1.分布的性质
(i)若,则
;
(ii)设,且
与
相互独立,则
2.分布的性质
(i)分布的概率密度
是偶函数;
(ii)当很大时,
分布近似于
分布,即对任意
,都有
3.分布的性质
若,则
。
三. 重点、难点分析
分布、
分布、
分布及正态分布之间的关系:
(1)正态分布与分布
若独立同分布于正态分布
,则
;
(2)正态分布,分布与
分布
如果,
,且
、
相互独立,则
;
(3)分布与
分布
如果,
,且X、Y相互独立,则
;
(4)分布与
分布
如果,
,且X、Y相互独立,则
;
(5)分布与
分布
如果,则
;
(6)分布与正态分布
如果,则当
时,
渐近服从正态分布
;
(7)分布与正态分布
如果,
,则当
时,
渐近服从正态分布
;
四. 典型例题
例1: 设总体,从中抽取样本
,设
,试确定常数
,使随机变量
服从
分布,并求出
分布的自由度。
解: 因为,
,故
从而可知
且由相互独立可知
与
相互独立,于是
取,有
自由度的为2。