4    几个常用统计量的分布

一.数学概念与定义

    1分布

      1°分布的定义

       设是来自标准正态总体的样本,则称统计量

       服从自由度为分布,记作

      2°分布的上分位点

       设,对于给定的正数,称满足条件

       的点分布的上分位点。

    2分布

      1°分布的定义

       设相互独立,则称随机变量

       服从自由度为分布,记作

      2°分布的上分位点

       设,对于给定的正数,称满足条件

       的点分布的上分位点,且有

   3分布

      1°分布的定义

       设,且相互独立,则称随机变量

       服从第一自由度为、第二自由度为分布,记作

       2°分布的上分位点

       设,对于给定的正数,称满足条件

       的点分布的上分位点(如图6-6)。且有

二.原理公式和法则

   1分布的性质

     i,则

     ii,且相互独立,则

   2分布的性质

     i分布的概率密度是偶函数;

     ii很大时,分布近似于分布,即对任意,都有

   3分布的性质

     ,则

 

. 重点、难点分析

    分布、分布、分布及正态分布之间的关系:

      1)正态分布与分布

       独立同分布于正态分布,则

     2)正态分布,分布与分布

      如果,且相互独立,则

    3分布与分布

      如果,且XY相互独立,则

    4分布与分布

       如果,且XY相互独立,则

    5分布与分布

       如果,则

    6分布与正态分布

      如果,则当时,渐近服从正态分布

    7分布与正态分布

      如果,则当时,渐近服从正态分布

. 典型例题

   1: 设总体,从中抽取样本,设,试确定常数,使随机变量服从分布,并求出分布的自由度。

    解: 因为,故

     从而可知

     且由相互独立可知相互独立,于是

     取,有

     自由度的为2