第 2 节   参数的区间估计

一．数学概念与定义

    1．置信区间

       设总体的分布中含有一个未知数，是来自总体的样本。如果对于给定的数值，统计量满足

               

   则称随机区间是的置信度为的置信区间，与发别称为置信下限与置信上限。

    2．单侧置信区间

   设总体的分布中含有未知参数为的样本，。若统计量满足

   则称随机区间为的置信度为的单侧置信区间，称为的置信度为的置信下限。

   又若统计量满足

   则称随机区间为置信度为的单侧置信区间，称为的置信度为的置信上限。

二．原理公式和法则

   求未知参数的置信区间的一般方法：

     1° 对于给定的样本，构造一个样本的函数

       它包含待估参数，而不含其它未知参数，并且的分布已知，在的分布中不依赖任何未知参数；

     2° 对于给定的置信，定出两个常数（一般地，按所服从的分布上的分位点来确定），使

     3° 从得到等价的不等式，其中与都是统计量，于是得到的一个置信度为的置信区间为。

三. 重点、难点分析

    本节的重点是理解区间估计的概念。

    先看未知参数点估计和区间估计有何异同？

    未知参数点估计就是将样本观察值代入估计量中，得到一个数值，作为真值的近似值。尽管点估计值随样本观察值的不同而异，但它能给人们一个具体的数值，因而在实际中常常使用点估计对客观事物作出某种推断。但作为一个近似值，它与真值间总有偏差，其偏差范围不知道。也就是说，这种推断的精确度如何？可靠性有多大？点估计本身并没有告诉我们，这正是点估计的不足之处。在实际中，人们希望对的取值估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可靠性程度，这样的范围通常用区间的形式给出，这种形式的估计弥补了点估计的不足。

    故点估计区间估计都用样本的统计量对未知参数的值进行估计。不同的是点估计得到的是未知参数物近似值，而区间估计得到的是以一定概率包含未知参数真值的范围。

    再讨论置信区间中提到的概率

    首先与一般概率的含义有所不同。后者区间为确定一个数值区间，为随机变量，它表示的取值落在区间内的概率为。而式中的区间是随机区间，是客观存在的一个未知常数值，它的含义是随机区间包含未知常数的概率是。

    另一方面，我们还希望估计的精确度高。

    区间估计就是寻找种种方法，以构造出具有较高的可靠性和精确度的敬意，但是，当样本容易固定不变时，置信区间的可靠性越高（即越大），区间估计的精确度就越差，（即区间长度就越长），所以，在固定时，置信区间的可靠性和精确度是相互制约的，不可能同时将两者提高到任意的高度，从置信区间的结构可以看出。增大样本容量，可缩短置信区间的长度。求置信区间，实际上是在保证可靠性达到指定水平，犯错误的概率控制在这内的前提下，尽可能地提高精确度。