第 3 节   单侧置信限 

一．原理公式和法则

    正态总体的均值与方差的置信区间

    设总体是来自总体的样本，与分别为样本均值与样本方差。给定置信度为。

    （1）单个正态总体的均值置信区间

         1° 为已知，均值的置信度为的置信区间为

         2° 为未知，均值的置信度为的置信区间为

    （2）单个正态总体的方差的置信区间

        1° 为已知，方差的置信度为的置信区间为

        2° 为未知，方差的置信度为的置信区间为

        标准差（均方差）的置信度为的置信区间为

        。

  （3）两个正态总体，的均值差的置信区间

       设总体，总体，与相互独立。是总体 样本，是总体的样本，这两个样本相互独立。设，，。给定置信度为。

       1° 与为已知，均值差的置信度为置信区间为

       2° 为未知，均值差的置信度为的置信区间为

            其中。

   （4）两个正态总体方差比的置信区间

       1° 与为已知，方差比的置信度为的置信区间为

       2° 与为未知，方差比的置信度为的置信区间为

 

三. 重点、难点分析

    本节的重点是掌握单个正态总体的均值与方差的置信区间的计算公式。

四. 典型例题

   例1．设总体，若已知，问需要抽取多大容量的样本，才能使的置信度为的置信区间长度不超过？

    解：，且已知，则的置信度为的置信区间长度为．

    由                                     

    得                                   

   例2．从某种香烟雾中随机抽取12只，测得尼古丁含量（单位：mg）为

28，26，27，30，29，22，24，25，31，28，27，23．

   设尼古丁含量服从正态分布，求该批香烟平均每支尼古丁含量的95%置信区间．（1）已知(mg)；（2）未知．

    解：（1），查表．

    所以  ；

．

    即该批香烟平均每支尼古丁含量的95%的置信区间为（26.661, 26.673）．

    （2）未知，．

    查表  ，

，

．

    所以  ；

．

    即该批香烟平均每支尼古丁含量的95%的置信区间为（24.904, 28.430）．

   例3．从某轧钢车间生产的钢板中随机抽取6张，测得其厚度（单位：cm）为

0.341, 0.382, 0.365, 0.375, 0.353, 0.376．

   设钢板厚度服从正态分布，试求厚度标准差的99%置信区间及钢板厚度的95%单侧置信上限．

    解：（1），

．

    由于，，查分布表得：

，

₁．

    未知时，的置信区间为

，即[0.0086, 0.0546]．

    （2）

    未知时，的单侧置信上限为．对于，，查表得．所以

．