1   假设检验的概念  

一.数学概念与定义

   假设检验的基本概念

    1)统计假设与假设检验

       在总体的分布完全未知,或只知其分布但不知其参数的情况下,为了推断总体的某些性质,提出关于总体的某些假设,称为统计假设

       所提出的假设称为原假设(或称为零假设),记为。对立于原假设的假设称为备择假设(或称为对立假设),记为

       假设检验就是根据所给出的样本,适当构造一个统计量,按照某种规则,决定接受(拒绝),还是拒绝(接受)。所使用的统计量称为检验统计量

      只对总体分布中的未知参数提出假设,然后进行检验的问题,称为参数检验

   2)两类错误

      由于检验法则是根据样本作出的,因此假设检验的结果可能出现以下两类错误:

         第一类错误:当原假设为真时,作出的决定却是拒绝。犯第一类错误的概率记为,即

         第二类错误:当原假设不正确时,作出的决定却是接受。犯第二类错误的概率记为,即

   3)参数的显著性检验

       在给定样本容量的情况下,我们总是控制犯第一类错误的概率,使它小于或等于,而不考虑犯第二类错误的概率。这种检验问题称为显著性检验。数称为显著性水平的大小依照具体情况事先给定,通常取为0.10.50.01等。

       当检验统计量在某个区域中取值时,我们就拒绝原假设,则称区域拒绝域。拒绝域的边界点称为临界点。当统计量在某个域中取值时,我们就接受原假设,则称此区域为接受域

   4)单边检验与双边检验

        对于总体分布中的未知数,对形如

        的假设进行检验,称为双边检验;对形如

(或),

        的假设进行检验,称为左边检验;对形如

(或

        的假设进行检验,称为右边检验。左边检验和右边检验统称为单边检验

二.原理公式和法则

   假设检验的一般步骤:

       1° 根据实际问题的要求,提出原假设和备择假设

       2° 给出显著性水平及样本容量

       3° 确定检验统计量及拒绝域的形式;

       4° 按犯第一类错误的概率等于,求出拒绝域

       5° 根据样本值计算检验统计量的观察值,当时,拒绝原假设,否则接受

 

. 重点、难点分析

    1在确定检验法则时,应尽可能使犯两类错误的概率都较小。但是,一般说来,当样本容量给定以后,若减少犯某一类错误的概率,则犯另一类错误的概率往往会增大。要使犯两类错误的概率都减小,只好加大样本的容量。

       2假设检测与区间估计对问题提法虽不相同,但解决问题的途径是相同的,现以正态总体的方差已知,关于期望的假设检测和区间估计为例来说明。

    假设,若为真,则,对给定的显著水平,有

                                

                          

    由此得的接受域就是说以的概率接受,而这个假设检验的接受或正是的置信度为的置信区间,说明它们两者解决问题的途径是相同的,参数的假设检验和参数的区间估计是从不同角度回答同一问题,假设检验判断结论是否成立,参数估计解决的是多少(或范围),前者解决的是定性的,后者解决的是定量的。

. 典型例题

   1从某轧钢车间生产的钢板中随机抽取6张,测得其厚度(单位:cm)为

0.341, 0.382, 0.365, 0.375, 0.353, 0.376

   设钢板厚度服从正态分布,试求厚度标准差的99%置信区间及钢板厚度的95%单侧置信上限.

   解:1

   由于,查分布表得:

   未知时,置信区间为

,即[0.0086, 0.0546]

   2

   未知时,的单侧置信上限为.对于,查表得.所以