第 1 节 假设检验的概念
一.数学概念与定义
假设检验的基本概念
(1)统计假设与假设检验
在总体的分布完全未知,或只知其分布但不知其参数的情况下,为了推断总体的某些性质,提出关于总体的某些假设,称为统计假设。
所提出的假设称为原假设(或称为零假设),记为。对立于原假设的假设称为备择假设(或称为对立假设),记为
。
假设检验就是根据所给出的样本,适当构造一个统计量,按照某种规则,决定接受(拒绝
),还是拒绝
(接受
)。所使用的统计量称为检验统计量。
只对总体分布中的未知参数提出假设,然后进行检验的问题,称为参数检验。
(2)两类错误
由于检验法则是根据样本作出的,因此假设检验的结果可能出现以下两类错误:
第一类错误:当原假设为真时,作出的决定却是拒绝
。犯第一类错误的概率记为
,即
第二类错误:当原假设不正确时,作出的决定却是接受
。犯第二类错误的概率记为
,即
(3)参数的显著性检验
在给定样本容量的情况下,我们总是控制犯第一类错误的概率,使它小于或等于,而不考虑犯第二类错误的概率。这种检验问题称为显著性检验。数
称为显著性水平。
的大小依照具体情况事先给定,通常取为0.1,0.5,0.01等。
当检验统计量在某个区域中取值时,我们就拒绝原假设
,则称区域
为拒绝域。拒绝域的边界点称为临界点。当统计量在某个域中取值时,我们就接受原假设
,则称此区域为接受域。
(4)单边检验与双边检验:
对于总体分布中的未知数,对形如
,
的假设进行检验,称为双边检验;对形如
(或
),
的假设进行检验,称为左边检验;对形如
(或
,
)
的假设进行检验,称为右边检验。左边检验和右边检验统称为单边检验。
假设检验的一般步骤:
1° 根据实际问题的要求,提出原假设和备择假设
;
2° 给出显著性水平及样本容量
;
3° 确定检验统计量及拒绝域的形式;
4° 按犯第一类错误的概率等于,求出拒绝域
;
5° 根据样本值计算检验统计量的观察值
,当
时,拒绝原假设
,否则接受
。
三. 重点、难点分析
1.在确定检验法则时,应尽可能使犯两类错误的概率都较小。但是,一般说来,当样本容量给定以后,若减少犯某一类错误的概率,则犯另一类错误的概率往往会增大。要使犯两类错误的概率都减小,只好加大样本的容量。
2.假设检测与区间估计对问题提法虽不相同,但解决问题的途径是相同的,现以正态总体的方差
已知,关于期望的假设检测和区间估计为例来说明。
假设,若
为真,则
,对给定的显著水平
,有
而
由此得的接受域
就是说以
的概率接受
,而这个假设检验的接受或正是
的置信度为
的置信区间,说明它们两者解决问题的途径是相同的,参数的假设检验和参数的区间估计是从不同角度回答同一问题,假设检验判断结论是否成立,参数估计解决的是多少(或范围),前者解决的是定性的,后者解决的是定量的。
四. 典型例题
例1.从某轧钢车间生产的钢板中随机抽取6张,测得其厚度(单位:cm)为
0.341, 0.382, 0.365, 0.375, 0.353, 0.376.
设钢板厚度服从正态分布,试求厚度标准差的99%置信区间及钢板厚度的95%单侧置信上限.
解:(1),
.
由于,
,查
分布表得:
,
.
未知时,
的
置信区间为
,即[0.0086, 0.0546].
(2)
未知时,
的单侧置信上限为
.对于
,
,查表得
.所以
.