第 1 节   假设检验的概念  

一．数学概念与定义

   假设检验的基本概念

    （1）统计假设与假设检验

       在总体的分布完全未知，或只知其分布但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出关于总体的某些假设，称为统计假设。

       所提出的假设称为原假设（或称为零假设），记为。对立于原假设的假设称为备择假设（或称为对立假设），记为。

       假设检验就是根据所给出的样本，适当构造一个统计量，按照某种规则，决定接受（拒绝），还是拒绝（接受）。所使用的统计量称为检验统计量。

      只对总体分布中的未知参数提出假设，然后进行检验的问题，称为参数检验。

   （2）两类错误

      由于检验法则是根据样本作出的，因此假设检验的结果可能出现以下两类错误：

         第一类错误：当原假设为真时，作出的决定却是拒绝。犯第一类错误的概率记为，即

         第二类错误：当原假设不正确时，作出的决定却是接受。犯第二类错误的概率记为，即

   （3）参数的显著性检验

       在给定样本容量的情况下，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它小于或等于，而不考虑犯第二类错误的概率。这种检验问题称为显著性检验。数称为显著性水平。的大小依照具体情况事先给定，通常取为0.1，0.5，0.01等。

       当检验统计量在某个区域中取值时，我们就拒绝原假设，则称区域为拒绝域。拒绝域的边界点称为临界点。当统计量在某个域中取值时，我们就接受原假设，则称此区域为接受域。

   （4）单边检验与双边检验：

        对于总体分布中的未知数，对形如

，

        的假设进行检验，称为双边检验；对形如

（或），

        的假设进行检验，称为左边检验；对形如

（或，）

        的假设进行检验，称为右边检验。左边检验和右边检验统称为单边检验。

二．原理公式和法则

   假设检验的一般步骤：

       1° 根据实际问题的要求，提出原假设和备择假设；

       2° 给出显著性水平及样本容量；

       3° 确定检验统计量及拒绝域的形式；

       4° 按犯第一类错误的概率等于，求出拒绝域；

       5° 根据样本值计算检验统计量的观察值，当时，拒绝原假设，否则接受。

 

三. 重点、难点分析

    1．在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小。但是，一般说来，当样本容量给定以后，若减少犯某一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会增大。要使犯两类错误的概率都减小，只好加大样本的容量。

       2．假设检测与区间估计对问题提法虽不相同，但解决问题的途径是相同的，现以正态总体的方差已知，关于期望的假设检测和区间估计为例来说明。

    假设，若为真，则，对给定的显著水平，有

                                

    而                      

    由此得的接受域就是说以的概率接受，而这个假设检验的接受或正是的置信度为的置信区间，说明它们两者解决问题的途径是相同的，参数的假设检验和参数的区间估计是从不同角度回答同一问题，假设检验判断结论是否成立，参数估计解决的是多少（或范围），前者解决的是定性的，后者解决的是定量的。

四. 典型例题

   例1．从某轧钢车间生产的钢板中随机抽取6张，测得其厚度（单位：cm）为

0.341, 0.382, 0.365, 0.375, 0.353, 0.376．

   设钢板厚度服从正态分布，试求厚度标准差的99%置信区间及钢板厚度的95%单侧置信上限．

   解：（1），

．

   由于，，查分布表得：

，

．

   未知时，的置信区间为

，即[0.0086, 0.0546]．

   （2）

   未知时，的单侧置信上限为．对于，，查表得．所以

．