一、学习要求   

理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的四则运算法则；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，会用等价无穷小求极限；理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性.

二 、内容提要

首先介绍了函数的概念和函数的表示方法，给出了函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等性质；给出复合函数及分段函数的概念，反函数的概念；基本初等函数的性质及其图形；学习了极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；极限的四则运算法则；利用两个重要极限求极限的方法；无穷小、无穷大的概念，用等价无穷小替换求极限；函数连续性的概念（含左连续与右连续），函数间断点的类型；连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），用介值定理讨论方程根的存在性.

第一讲 函数的概念

定义 设数集DÌR, 则称映射f : D ®R为定义在D上的函数, 通常简记为

                y=f(x), xÎD, 

其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f =D. 

    注（1）记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xÎD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 

    （2）函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “j”等. 此时函数就记作y=j (x), y=F(x). 

    （3）函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的函数, 否则就是不同的函数. 

    （4）函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定，一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定；一种是无实际背景的函数，定义域是使函数有意义的自变量取值范围.

    例1 求函数的定义域. 

    解  要使函数有意义, 必须x¹0, 且x2 - 4³0.  解不等式得| x |³2. 

所以函数的定义域为D={x | | x |³2}, 或D=(-¥, 2]È[2, +¥]). 

例2求函数下列函数的定义域.

（1）.

（2）.

分析 求函数的定义域的关键在于使解析式有意义的自变量的取值范围.通常考虑以下几点：

(1)分母不能为零;

(2)负数不能开偶次方；

(3)对数的真数是正数；

(4)反正弦和反余弦的定义域为；

(5)若函数是两个函数的和或积，则它的定义域是这两个函数定义域的交集.

解（1）因该函数是两个函数的和，故及，即及，则定义域为.

  （2）注意负数和零无对数时要求，分母不能为零时要求；因此必须即所以定义域为