第十一讲 极限存在的判别法Ⅰ

准则I 

    如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件： 

    (1)yn£xn£zn(n=1, 2, 3, × × ×), 

    (2), , 

那么数列{xn }的极限存在, 且.

准则I¢  

    如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:

    (1) g(x)£f(x)£h(x);

    (2) lim g(x)=A, lim h(x)=A; 

那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A.

    注 如果上述极限过程是x®x0, 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x®¥, 要求函数当|x|>M时有定义,

    下面根据准则I¢证明第一个重要极限.

    证明  首先注意到, 函数对于一切x¹0都有定义. 参看附图：图中的圆为单位圆, BC^OA, DA^OA. 圆心角ÐAOB=x (0<x<).显然 sin x=CB, x=, tan x=AD. 因为 

SDAOB<S扇形AOB<SDAOD , 

所以

sin x<x<tan x, 

即                                 sin x<x<tan x.

不等号各边都除以sin x, 就有

, 

或                                .

注意此不等式当-<x<0时也成立. 而, 根据准则I¢, .

    注 极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有.

这是因为, 令u=a(x), 则u ®0, 于是.

, (a(x)®0).

    例1 .

解: .

例2  .

解  

                .