第十五讲 函数的连续性

 1.变量的增量

    设变量u从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量, 记作Du , 即Du =u2-u1.

    设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的.当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时, 函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx), 因此函数y的对应增量为

Dy= f(x0+Dx)- f(x0).

 2.函数连续的定义 

    设函数y=f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量Dx =x-x0 趋于零时, 对应的函数的增量Dy= f(x0+Dx)- f(x0 )也趋于零, 即

, 或,

那么就称函数y=f(x)在点x0 处连续.

注: ①

   ②设x=x0+Dx, 则当Dx®0时, x®x0, 因此

    ÛÛ.

 3.左右连续性:

    如果, 则称y=f(x)在点处左连续.

    如果, 则称y=f(x)在点处右连续.

 4. 左右连续与连续的关系:

    函数y=f(x)在点x0处连续Û函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续.

 5.函数在区间上的连续性:

    在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.

    连续函数举例：

    1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(-¥, +¥)内是连续的.

这是因为, f(x)在(-¥, +¥)内任意一点x0处有定义, 且.

2. 函数在区间[0, +¥)内是连续的.

    3. 函数y=sin x 在区间(-¥, +¥)内是连续的.

    证明设x为区间(-¥, +¥)内任意一点.则有

                  Dy=sin(x+Dx)-sin x,

因为当Dx®0时, Dy是无穷小与有界函数的乘积, 所以. 这就证明了函数y=sin x在区间(-¥, +¥)内任意一点x都是连续的．

4. 函数y=cos x 在区间(-¥, +¥)内是连续的.