第十六讲 函数的间断点

    

 间断点定义:

    设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:

    (1)在x0没有定义;

    (2)虽然在x0有定义, 但f(x)不存在;

    (3)虽然在x0有定义且f(x)存在, 但f(x)¹f(x0);

则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.

例1  正切函数y=tan x在处没有定义, 所以点是函数tan x的间断点. 

    因为, 故称为函数tan x的无穷间断点.

例2函数在点x=0没有定义, 所以点x=0是函数的间断点.

当x®0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点.

例3 函数在x=1没有定义, 所以点x=1是函数的间断点. 

    因为, 如果补充定义:令x=1时y=2, 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.

例4  设函数.

    因为,, , 所以x=1是函数f(x)的间断点.

    如果改变函数f(x)在x=1处的定义:f(1)=1, 则函数f(x)在x=1 成为连续, 所以x=1也称为该函数的可去间断点.

例5  设函数.

    因为, 

        , 

        , 

所以极限不存在, x=0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象, 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.

    间断点的分类:

通常把间断点分成两类:果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点.第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.