第二讲  函数的三种常用表示法

表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P(x, y)|y=f(x), xÎD}称为函数y=f(x), xÎD的图形. 

    在函数的定义中，对每个xÎD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xÎD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2 给出. 显然, 对每个xÎ[-r, r]，由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值, 当x=r或x=-r时, 对应y=0一个值; 当x取(-r, r)内任一个值时, 对应的y有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数. 

    对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中, 附加“y³0”的条件,  即以“x2+y2=r2且y³0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支; 附加“y£0”的条件, 即以“x2+y2=r2且y£0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支.

    在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 

    注：（1）分段函数是一个函数，而不是两个函数.

（2）对分段函数要求会求定义域会画图像，会求函数值.

例  函数. 

    这是一个分段函数, 其定义域为D=[0, 1]È(0, +¥)= [0, +¥). 

    当0£x£1时, ; 当x>1时, y=1+x. 

例如; ; f(3)=1+3=4.

例 求下列函数的表达式:

（1）设，求.

（2）设满足其中为常数，且，求

解 （1）令，则，代入得

,所以

   （2）可利用与的倒数关系来解答.

因为  所以

将以上两个方程联立解得.

注意利用，即.