第三讲 函数的四个简单性质

(1)函数的有界性

    设函数f(x)的定义域为D, 数集XÌD. 如果存在数K1, 使对任一xÎX, 有f(x)£K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. 

    如果存在数K2, 使对任一xÎX, 有f(x)³ K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 

     如果存在正数M, 使对任一xÎX, 有| f(x) |£M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间. 

    函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1ÎX, 使| f(x) | > M. 

    例如

    (1) f(x)=sin x在(-¥, +¥)上是有界的: |sin x|£1. 

    (2) 函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 

    这是因为, 对于任一M>1, 总有x1: , 使

      , 

所以函数无上界. 

函数在(1, 2)内是有界的. 

 (2)函数的单调性

    设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I ÌD. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1<x2时, 恒有

                     f(x1)< f(x2), 

则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 

    如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1<x2时, 恒有

                     f(x1)> f(x2), 

则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 

    单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 

    函数单调性举例: 

    函数y = x2在区间(-¥, 0]上是单调减少的, 在区间[0, +¥)上是单调增加的, 在（-¥, +¥）上不是单调的. 

 (3)函数的奇偶性

    设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xÎD, 则-xÎD). 如果对于任一xÎD, 有

f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数. 

    如果对于任一xÎD, 有f(-x) = -f(x), 则称f(x)为奇函数. 

    偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称.

    奇偶函数举例: 

    y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. 

(4)函数的周期性

    设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且 

f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 

周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.