第四讲 反函数与复合函数

反函数

反函数: 设函数f : D®f(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)®D, 称此映射f -1为函数f的反函数. 

    按此定义, 对每个yÎf(D), 有唯一的xÎD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 

这就是说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 

    一般地, y=f(x), xÎD的反函数记成y=f -1(x), xÎf(D). 

    若f是定义在D上的单调函数, 则f : D®f(D)是单射, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 

    相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的. 

 初等函数

    基本初等函数: 

    幂函数: y=x m (mÎR是常数); 

    指数函数: y=a x(a>0且a¹1); 

    对数函数: y=loga x (a>0且a¹1, 特别当a=e时, 记为y=ln x);

    三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 

    反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 

    由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如

        , y=sin2x, .

等都是初等函数. 

复合函数 

    设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D)Ì D 1, 则由下式确定的函数 y=f[g(x)], xÎD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 

    函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即

        ()=f[g(x)]. 

    与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)ÌD f，否则, 不能构成复合函数. 

注：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内.

例如：y=f(u)=arcsin u, 的定义域为[-1, 1], 在

上有定义, 且g(D)Ì[-1, 1], 则g与f可构成复合函数, xÎD; 

但函数y=arcsin u和函数u=2+ x2不能构成复合函数, 这是因为对任xÎR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定义域[-1, 1]内. 

多个函数的复合:设y= sin2 (2+x)，则y= u2,  u=sin v , v=(2+x).