第五讲 数列的极限

引例： 求圆的面积？ 

    设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A1；再作内接正八边形, 它的面积记为A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×边形的面积记为An . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:

           A1, A2, A3, × × × × × × , An, × × ×

设想n 无限增大（记为n®¥, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时An 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列）  A1, A2, A3, × × × , An, × × ×当n ®¥时的极限.

1.数列的定义

:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn , 则得到一列有次序的数

 x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×

这一列有次序的数就叫做数列, 记为{xn}, 其中第n 项xn 叫做数列的一般项. 

数列的例子:

           {}: , , , × × × , × × ×; 

           {2n}: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × ×; 

           {}: , , , × × × , , × × × ; 

           {(-1)n+1}: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × × × ; 

           {}: 2, , , × × × , , × × × . 

它们的一般项依次为 , 2n, , (-1)n+1, .

  2.数列的几何意义

数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×.

  3.数列与函数

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数xn=f (n), 它的定义域是全体正整数.

  4.数列的极限:

    对于数列{xn}, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a, 则称常数a 是数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a. 记为.如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 

    例如

       ,, ; 而{}, { }, 是发散的.

对无限接近的刻划:xn无限接近于a 等价于|xn-a |无限接近于0.