第六讲 函数极限的定义

函数的自变量有几种不同的变化趋势： 

    x无限接近x0 : x®x0, 

    x从x0的左侧(即小于x0)无限接近x0 : x®x0-, 

    x从x0的右侧(即大于x0)无限接近x0 : x®x0+, 

    x的绝对值|x|无限增大: x®¥, 

    x小于零且绝对值|x|无限增大: x®-¥, 

x大于零且绝对值|x|无限增大: x®+¥. 

1．自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 如果当时，函数f(x)无限趋近于一个确定常数，则称常数为函数f(x)当时的极限,记作或f(x)®A(x®¥).

    类似地可定义和.

    结论: Û且.

例 .

2．自变量趋于有限值时函数的极限

定义 如果当x无限接近于x0 , 函数f(x)的值无限接近于常数A, 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限.记作f(x)=A或f(x)®A(当x®).

    例 . 

    例 . 

    例. 

    例. 

    单侧极限: 

    若当x®x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A, 则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的右极限, 记为或f(+)=A . 

若当x®x0- 时, f(x)无限接近于某常数A, 则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的左极限, 记为或f(-)=A ;

Û且.

例 函数当x®0时的极限不存在. 

    这是因为, 

    ,

    ,

.