第八讲 无穷小与无穷大
1. 无穷小
如果函数f(x)当x®x0(或x®¥)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷小.
特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n®¥时的无穷小.
例如,
因为, 所以函数为当x®¥时的无穷小.
因为, 所以函数为x-1当x®1时的无穷小.
因为, 所以数列{}为当n®¥时的无穷小.
讨论: 很小很小的数是否是无穷小?0是否为无穷小?
提示: 无穷小是这样的函数, 在x®x0(或x®¥)的过程中, 极限为零.
2.无穷大
如果当x®x0(或x®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷大. 记为 (或).
注: 当x®x0(或x®¥)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作
(或).
正无穷大与负无穷大:, .
无穷大与无穷小之间的关系
在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大,
则为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)¹0, 则为无穷大.