第九讲 极限的运算法则

定理1  如果lim f (x)=A, lim g (x)=B, 那么 

     (1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; 

     (2) lim f (x)×g(x) = lim f (x) × lim g (x) =A×B ; 

     (3)(B¹0).

    推论1  如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则

lim [c f (x)]=c lim f (x). 

    推论2  如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则

lim [f (x)]n =[lim f (x)]n. 

    定理2  设有数列{xn }和{yn }. 如果

, , 

那么

    (1); 

    (2); 

    (3)当(n=1, 2, × × ×)且B¹0时, .

     定理3  有限个无穷小的和也是无穷小. 

     例如, 当x®0时, x与sin x都是无穷小, x+sin x也是无穷小.

定理4  有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理5  有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .

      例如, 当x®¥时, 是无穷小, arctan x是有界函数, 所以arctan x也是无穷小.

     推论3  常数与无穷小的乘积是无穷小.