第二十八讲 高阶导数

前面讲过，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导数：或，由上可见，加速度是的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：

定义 若函数的导函数在点可导，就称在点的导数为函数在点处的二阶导数，记为，即，此时，也称函数在点处二阶可导.

注1：若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，并称为在上的二阶导函数，简称二阶导数；

           2：仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数；

          3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：，，或与或；

        4：开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记或；

        5：未必任何函数所有高阶都存在；

6：由定义不难知道，对，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导                 数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为阶导数，因此，

求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了.

例1 ，求.

解 .

例2 ，求各阶导数.

解 ，，，，显然易见，对任何，有，

         即.

例3 ，求各阶导数.

解 ，

           ，

           ，

           .

    ……

  一般地，有，即  .

      同样可求得  .

例4 ，求各阶导数.

解 ，，，，

          ，……

    一般地，有       ,

      即          .

例5 ，为任意常数，求各阶导数.

解，，，

             ，

一般地，     

即          .

(ⅰ) 当为正整数时，

  a) 时，；

  b) 时，；

   c) 时，；

(ii)当不为正整数时，必存在一自然数，使得当，在处不存在.

如：然而，在处是无意义，即说明

在处无导数，或在处不存在.

例6 ，求.

解 ，

           ，

           .