第三十四讲  曲线凹凸性的判定法

 

1、曲线的凹凸及其判别法

（1）曲线凹凸的定义

函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降，但是，在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向问题.

问题:如何研究曲线的弯曲方向?

 

 

 

 

 

 

 

定义  设在区间上联系，如果对上任意两点，，恒有

，

那么称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有

，

那么称在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.

（2）曲线凹凸的判定

定理  设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在内，则在上的图形是凹的；

（2）若在内，则在上的图形是凸的.

例1  判断曲线的凹凸性.

解  因为，所以在函数的定义域（0，+∞）内，，由曲线凹凸性的判定定理可知，曲线是凸的.

例2  判断曲线的凹凸性.

解  因为，，当时，，所以曲线在内为凸弧；当时，，所以曲线在（0，+∞）内为凹弧.

2、曲线的拐点及其求法

（1）定义

连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.

注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.

（2）拐点的求法

如何来寻找曲线的拐点呢？

定理 若，而在的左右两侧邻近异号，则点是拐点.

设在区间内具有二阶导数，则求曲线的拐点的步骤为：

（1）求；

（2）令，解出这方程在区间内的实根；

（3）对于（2）中解出的每一个实根，检查在左、右两侧邻近的符号，如果在左、右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点是拐点.当两侧的符号相同时，点不是拐点.

例3 求曲线的拐点.

解  ，.

解方程，得.当时，；当时，.因此，点是这曲线的拐点.

例4  求曲线的拐点及凹、凸区间.

解  函数的定义域为（－∞，＋∞）.

             

             .

解方程，得.

及把函数的定义域（－∞，＋∞）分成三个部分区间：（－∞，0]、、.

在内，，因此在区间上这曲线是凹的.在内，，因此在上这曲线是凸的.在内，，因此上这曲线是凹的.

时，，点是这曲线的一个拐点.时，，点也是这曲线的拐点.

例5  问曲线是否有拐点？

解  ，.

显然，只有是方程的根.但当时，无论或都有，因此点不是这曲线的拐点.曲线没有拐点，它在（－∞，＋∞）内是凹的.

例6  求曲线的拐点.

解  这函数在（－∞，＋∞）内连续，当时

               ，，

当时，，都不存在，故二阶导数在（－∞，＋∞）内不连续且不具有零点.但是不存在的点，它把（－∞，＋∞）分成两个部分区间：、.

在内，，这曲线在上是凹的.在内，，这曲线在上是凸的.

所以点是这曲线的一个拐点.