第三十五讲 函数极值的判定法

 

1、极值的定义

设函数在区间内有定义，点是内的一点.若存在点的一个邻域，对于该邻域内任何异于的点，不等式

   ()

成立，称是函数的一个极大值(极小值)；称点是函数 的极大值点(极小值点).

函数的极大值与极小值统称为函数的极值； 

使函数取得极值的点统称为极值点.

 

 

 

 

 

 

关于函数的极值，如下几点注记是十分重要的.

①函数的极值概念是一个局部概念.

如果是函数的一个极大值，那只是对的一个局部范围来说是的一个最大值.但对于整个函数的定义域来说，就不一定是最大值了.对于极小值也是类似的.

②极小值有可能较极大值更大.

如图： ( 是极大值， 而是极小值 )

2、函数极值的求法

函数极值存在的必要条件

定理1  设函数在点处可导，且在处取得极值，那末这函数在处的导数为零，即.

证  为确定起见，假定是极大值（极小值的情形可类似地证明）.根据极大值的定义，在的某个去心邻域内，对于任何点x，均成立.于是，

当时，

因此                       ；

当时

因此                       ；

从而得到 .

定义：使导数为零的点（即方程的实根）叫做函数的驻点.

注意：

可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点.例如的导数，，因此是这可导函数的驻点，但却不是这函数的极值点.

函数极值存在的第一种充分条件

定理2  设函数在点的一个邻域内可导且.

（a）如果当取左侧邻近的值时，恒为正；当取右侧邻近的值时，恒为负，那末函数在处取得极大值；

（b）如果当取左侧邻近的值时，恒为负；当取右侧邻近的值时，恒为正，那末函数在处取得极小值；

（c）如果当取左右两侧邻近的值时，恒为正或恒为负，那末函数在处没有极值.

定理2也可简单地这样说：当在的邻近渐增地经过时，如果的符号由正变负，那末在处取得极大值；如果的符号由负变正，那末在处取得极小值；如果的符号并不改变，那末在处没有极值.

求极值的步骤:

（1）求导数；

（2）求驻点，即求方程的根；

（3）考察在每个驻点的左、右的的正负号，判断极值点.

例1求函数的极值.

解  （1），

（2）令，求得驻点，；

（3）由来确定的符号：

当时，，，所以；

当时，，，所以；

当时，；

因而，函数在处取得极大值，在处取得极小值.

（4）算出极大值，极小值.

函数求极值的第二种充分条件

定理3  设函数在处具有二阶导数且，，那末

（1）当时，函数在处取得极大值；

（2）当时，函数在处取得极小值.

证  在情形（1），由于，按二阶导数的定义有

根据函数极限的局部保号性，当在的足够小的去心邻域内时，

但，，所以上式即

 

从而知道，对于这去心邻域内的x来说，与符号相反.因此，当即时，；当即时，.于是根据定理2知道，在点处取得极大值.

类似地可以证明情形（2）.

定理3表明，如果函数在驻点处的二阶导数，那末该驻点一定是极值点，并且可以按二阶导数的符号来判定是极大值还是极小值.

注意：若，在处不一定取极值，仍用定理2判别.

例2  求函数的极值.

解（1），

（2）令，求得驻点，，，

（3），

（4）因，在处取得极小值，极小值为.

（5）因，用定理3无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号，

当以－1左侧邻近的值时，；当以－1右侧邻近的值时，；因为的符号没有改变，所以在处没有极值.同理，在处也没有极值.

注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

例3  函数，如图

 

在处不可导，但函数在处取得极小值.点是函数的极小值.

例4  求函数的极值.

 

解  当时，，

当时，不存在.当时，即在（－∞，2）和（2，＋∞）内的各点处，都存在，且.根据定理1，在这两个区间内没有极值点，事实上，在（－∞，2）内，，函数单调增加；在（2，＋∞）内，，函数单调减少.

当时，不存在，但函数在该点连续，再由上面得到的函数的单调性，可知是函数的极大值.

这两例所反映的事实说明：函数的不可导点，也是函数可能的极值点，在讨论函数的极值时，应予以考虑.