第二十讲 导数的定义

综合上几个问题，它们均归纳为这一极限（其中为自变量在的增量，为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数.

定义 设在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量（仍在该邻域中）时，函数相应地有增量，若增量比极限：即存在，就称其值为在点的导数，记为，，或.

即等等，这时，也称在点可导或有导数，导数存在.

注 1：导数的常见形式还有：；

                              ；

                              ；

      2：反映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，它反映了函数随而变化的快慢程度.

      3：若极限即不存在，就称在点不可导.

若在开区间内的每一点处均可导，就称在内可导，且对任意，均有一导数值，这时就构造了一新的函数，称之为在内的导函数，记为，或，，等.

事实上，    或

注 4：上两式中，为内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量.但在导函数中，是变量.

      5：在的导数就是导函数在点的值，不要认为是；

      6：为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数.

定义   若，即[即 

    ]存在，就称其值为在点的右（左）导数，并记为，即

     [].

定理1 在点可导在点的左导数和右导数均存在，且相等，即   .

        若在内可导，且在点右可导，在点左可导，即存在，就称在上可导.

例1设，证明 若，那么.

证明：因为，所以.

例2 若在点可导，问：？

解：  

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