第二十三讲 函数的可导性与连续性之间的关系
定理2 如果函数在点可导,那么在该点必连续.
注 1:本定理的逆定理不成立,即连续未必可导.
反例:在点连续,但不可导.
例1 求常数使得在点可导.
解 若使在点可导,必使之连续,故
.
又若使在点可导,必使之左右导数存在,且相等,由函数知,左右导数是存在的,且
,
,
所以若有,则,此时在点可导,所以所求常数为
.
例2 设存在,求极限.
解
.
例3 设函数在处可导,求常数的值.
解 要求出两个常数的值,应建立关于的两个方程,由可导必连续知,在点可导,必有在点连续,于是有
又因为所以
又
所以,因此若函数在处可导,则有,
例4 确定函数在处的连续性与可导性.
解
由此可知,在处连续且可导.
例5 设函数且求
分析 分段函数在分段点的导数应当用定义计算,由于在点两侧的表达式相同,因此不需要分别求导.
解
因为,所以
例6 证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积都等于;
分析 利用导数的几何意义
证明 在双曲线上任取一点,则.由得双曲线在点处切线的斜率为切线方程为
下面求切线在两个坐标轴上的截距.在切线方程中,令解得令解得故切线与两坐标轴所围成图形的面积为.