第二十三讲 函数的可导性与连续性之间的关系

定理2 如果函数在点可导，那么在该点必连续.

注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导.

      反例：在点连续，但不可导.

例1 求常数使得在点可导.

解 若使在点可导，必使之连续，故

      .

    又若使在点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的，且

                      ，

                      ，

    所以若有，则，此时在点可导，所以所求常数为

 .

例2 设存在，求极限.

解   

.

例3  设函数在处可导，求常数的值.

解 要求出两个常数的值，应建立关于的两个方程，由可导必连续知，在点可导，必有在点连续，于是有

又因为所以 

又

所以，因此若函数在处可导，则有，

例4 确定函数在处的连续性与可导性.

解 

由此可知，在处连续且可导.

例5  设函数且求

分析 分段函数在分段点的导数应当用定义计算，由于在点两侧的表达式相同，因此不需要分别求导.

解

因为，所以

例6 证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积都等于；

分析 利用导数的几何意义

证明  在双曲线上任取一点，则.由得双曲线在点处切线的斜率为切线方程为

下面求切线在两个坐标轴上的截距.在切线方程中，令解得令解得故切线与两坐标轴所围成图形的面积为.