第二十四讲 函数的和、差、积、商的求导法则

定理 1若函数和在点都可导，则在点也可导，且

        .

证明  

          ==

      所以.

注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去.

   2：本定理的结论也常简记为.

定理2若和在点可导，则在点可导，且有.

证明  

       =

       =

       =

       =

即  .

注 1：若取为常数，则有：；

   2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：

定理3 若都在点可导，且，则在点也可导，且.

证明 

         =

         =

        =

即.

注  1：本定理也可通过，及的求导公式来得；

2：本公式简化为；

3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，得函数的和、差、积、商的求导函数公式.

例1设，求.

解 

.

反函数的导数

定理1设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且.

证明 

      所以 .

注1：，因为在点附近连续，严格单调；

        2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；

       3：和的“′”均表示求导，但意义不同；

       4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；

 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式.

例1求的导数，

解 由于，是的反函数，由定理1得：

.

注：同理可证：；