第二十六讲 复合函数的求导公式

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题.                                    

定理（复合函数求导法则） 如果在点可导，且在 点也可导，那么，复合函数在点可导，且，或.

证明   

                ==

注 1：若视为任意，并用代替，便得导函数：

        ，或

         或.

        2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别.

       3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导.

       4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：

        等.

例1求的导数.

解 可看成与复合而成，

，，

 .

例2求（为常数）的导数.

解 是，复合而成的.

所以.

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确.在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果.

例3  ，求.

解 .

例4  ，求

解  

               .

例5  ，求.

解 

           =

           =.

例6 ，求.

解 

                .

例7  ，求.

解 

           .