一、学习要求

了解原函数的概念；掌握不定积分的概念；熟练掌握求不定积分的方法，换元积分法和分部积分法；掌握求不定积分的基本公式.

二、内容提要

首先引入不定积分的概念；然后讨论不定积分的性质与运算法则，最后讨论不定积分的几种常用积分法.

第三十八讲 不定积分的概念

在前面我们已经研究了如何求函数的导数和微分，在自然科学和实际问题中常常需要讨论与它们相反的问题，即已知一个函数的导数，如何求原来的函数，由此引出不定积分的概念.在本章我们学习不定积分的性质和几种基本积分法.

在许多实际问题中，往往需要根据一个函数的导数来求原来这个函数的问题.如，已知曲线在点（）处切线的斜率求该曲线的方程等.这就是求原函数的问题.

一、原函数

定义1  设是定义在区间上的已知函数，如果存在函数,对于该区间内的任意,都有

或,

则称是在区间上的一个原函数.

例如,在上,因为,所以是的一个原函数，又，，（其中为任意常数），所以都是的原函数.

可以看出，如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些函数之间仅差一个常数.也就是说，如果是的一个原函数，那么（为任意常数）也是的原函数.

定理（原函数存在定理）如果函数在区间上连续，则在区间上必存在可导函数，使得

此定理也就是说：连续函数必有原函数.

二、不定积分的概念

定义2  函数的全部原函数,称为的不定积分,记为,即

.

其中称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分常数.

由定义2可知,要求函数的不定积分,只需要求出它的一个原函数,再加上任意常数即可.

例1  求不定积分.

解  因为,所以是的一个原函数,故.

例2  求.

解  因为，所以是的一个原函数,于是

.

例.3  求.

解  被积函数的定义域为，

当时,有，

当时，有，

所以，在定义域内有，于是

.