第四十讲 不定积分的性质

不定积分的性质

根据不定积分的概念，可以直接得到不定积分的下列性质：

性质1  不定积分与求导数或微分互为逆运算.

（1）  或  

（2）  或  .

性质2  不为0的常数因子可以移到积分号前，即

   ,常数），

性质3  两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和，即

，

这一结论可以推广到任意有限个函数的代数和的情况.

不定积分的几何意义

通常把函数的一个原函数的图形叫做的一条积分曲线.那么的所有积分曲线构成的曲线族称为的积分曲线族.函数的不定积分表示的积分曲线族.

例5  求经过点,且其切线的斜率为的曲线方程.

解  设所求曲线方程为，由题意知，而

,

即的积分曲线族为，将，代入,得，

故所求的曲线方程为.  

                         典型例题

例1 若，求.

解 由不定积分的定义可知

.

例2 若，求函数.

分析 为了求出必须先求出，再用不定积分求出，为此，可令.

解 令，则，积分得

,

所以.

例3 一曲线过点，且其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.

解 设该曲线方程为.由题设，该曲线上的任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，即，所以是的原函数.由于的全体原函数为， 

根据不定积分的几何意义，所求曲线是积分曲线族中的一条积分曲线.又由曲线过点，将其代入得，即，

于是所求曲线方程为.