第四十二讲 第一类换元积分法(凑分法)
利用直接积分法只能计算一些简单的不定积分,因此必须进一步研究不定积分的求法.把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,即利用变量代换的方法来求函数的不定积分,这种方法叫换元积分法.
定理1 设函数是的一个原函数,即,具有连续导数,则有
.
证明从略.
把上述定理改写成如下便于应用的形式
.
这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法,又称为凑微分法.
例1求.
解 因为
令,则,于是
,
再将回代,得
=.
例2 求.
解 因为,令,那么
,
将回代,得
.
例3 求.
解 因为,令,则
.
一般情况下,在解题熟练之后,可省略“令”这一步,直接写出结果.
例4 求.
解 这里,利用,所以
.
从上述几例可知,运用凑微分法求不定积分,必须熟悉基本积分公式.另外,下面微分公式也是今后求不定积分经常用到的.
例.5 求.
解
.
类似地,可以得到
.
例6 求.
解
.
类似地,可以得到
.
例7 求.
解
.