第四十四讲 第二类换元积分法（去根号法）
定理2 设函数
连续，函数
有连续导数，并且存在反函数
，如果
，则
.
这种求不定积分的方法通常叫做第二类换元积分法.
不难看出，第二类换元积分法是把第一类换元积分法反过来使用，只是在不同的情况下同一公式的两种不同的使用方式，二者区别就在于：第一换元积分法是将被积函数中的某函数
看成积分变量
,此时
是积分变量
的函数，而第二换元积分法引入新的变量
，使
，原积分变量
是新变量
的函数.
第二类换元积分法主要用来求某些含根式的不定积分，通过变量替换去掉根式.
例11 求
.
解 令
则
，
，于是
.
例.12 求
.
解 设
，则
，
，所以
，
因为
，所以
，于是
，
故所求不定积分
.
注 对于上例，当得到
时，为了用变量
替换
，也可以根据
，作辅助三角形（如图1），
于是有
，所以
和例12类似，利用三角公式消去根式可以求出以下结果：
.
.
注 在利用第二换元法解决被积函数中带有根式的某些积分时，常用的变量替换可总结如下：
①被积函数为
，则令
，其中
为
的最小公倍数.
②被积函数为
，则令
.
③被积函数为
，则令
.
④被积函数为
，则令
.
⑤被积函数为
，则令
.
其中①、②两种称为代数代换，③、④、⑤三种类型称为三角代换.
在上面的换元积分例题中，有些积分的结果在今后的运算中经常会遇到，可以作为公式使用.为了便于读者查找和记忆，现列举如下.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
；
(8)
；
(9)
；
（10）
.