第四十六讲 不定积分的分部积分法

 

利用直接积分法和换元积分法可以求出许多函数的不定积分，但是有些不定积分利用这两种方法却很难解决，如，等.为此，下面将研究另一种求不定积分的方法——分部积分法.

定理1 设函数，具有连续导数，则有

.

我们讲导数时，知道   

,

从而有

,

移项得

,  

或                     .  

我们称这个公式为分部积分公式. 

当 不容易积分，但容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 计算出来，达到化难为易的目的.

例1  求不定积分.

解  取，，则，，所以

.

注  对分部积分法熟练后，选取和时，可默记在心里不必写出.

例2  求不定积分.

解  

.

例2表明，有时要多次利用分部积分法才能求出结果.

例3  求不定积分.

解  

.

移项整理，得

，

所以

.

注  移项后等式右端已不含积分项，必须加上任意常数，而最后结果中的.

为了便于读者掌握分部积分法，下面列出应用分部积分法的常见形式及的选取方法：

①，，（为整数且）应用分部积分计算，一般选取，而被积表达式的其余部分为.

②，，（为正整数）应用分部积分法计算，一般选取，被积表达式的其余部分为.

③，应用分部积分法计算，取或均可以，但在解题过程中不能改变的选取方式.

到目前为止，我们已经学习了求不定积分的三种最基本的方法，记住方法本身固然重要，但更重要的是能够灵活地运用它们求解不同类型的题目.同时，还应注意到某些不定积分的求解需将几种方法结合在一起应用，才能凑效.

例4 求不定积分.

解  先用换元法，设，则，，所以

（用分部积分法）

.

例5   求不定积分  

解 若令   ， 代入分部积分公式

但若令    ， 代入分部积分公式

          , 

比原积分还复杂,由此可知，在用分部积分公式时，的选择不是随意的，那个作u ,那个作v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来.

例 6   求不定积分

解 相比之下显然，容易积分，所以取  

.

例7  不定积分

  解   

             

      

      

=,

解得   .