第五十九讲 定积分的两个简单应用
一、平面图形的面积
由定积分的几何意义,连续曲线与直线,,及轴所围成的曲边梯形的面积为.
若 在 上不都是非负的,则所围成的面积为
一般的,由上、下两条连续曲线,,及直线 ,,所围成的平面图形的面积为
.
二、闭区间上连续函数的平均值
在第一节中,由定积分中值定理,我们已经知道,连续函数在闭区间上的平均值为:.
典 型 例 题
例1求曲线和在上所围成的平面图形的面积.
解
.
例2 求曲线和所围成的平面图形的面积.
解
例3 求由直线和抛物线所围成的平面图形的面积.
解 ,
例4求由曲线和所围成的平面图形的面积.
解
.
例5 求;x = 0以及
x =所围平面图形的面积(见右图).
解 设所求面积为S,于是
根据三角函数的性质,有:
当或者时,
,
当时,,所以,
.
例6 求由曲线以及y = x2所围的平面图形的面积.
解 由得两曲线的交点
坐标是:
(-1, 1);(0, 0);(2,4)
因此,所求平面图形的面积S为
由于在开区间(-1,0)范围内曲线
y = x3-2x在y = x2之上;在开区间
(0;2)范围内曲线在y = x2
之下.从而,所求面积S为:
.
例7 .
解 .