第五十讲 定积分的性质
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性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即
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这个性质还可推广到有限多个函数的情形.
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即
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性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即
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这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.
值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式成立.
性质4 如果在区间[a b]上f (x)º1 则.
性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)³0, 则(a<b).
推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)£ g(x) 则(a<b).
这是因为g(x)-f(x)³0, 从而, 所以.
推论2 (a<b).
这是因为-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|, 所以,
即
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性质6 (估值定理) 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值, 则
(a<b).
证明 因为 m£ f (x)£ M , 所以,
从而.
性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ, 使下式成立: .
证明 由性质6 ,各项除以b-a 得,再由连续函数的介值定理, 在[a, b]上至少存在一点ξ, 使,
于是两端乘以b-a得中值公式.
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等,这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义,希望大家认真领会.
例1.比较下列各积分值的大小:
(1)与 (2) 与
解 (1)因为在[0,1]上,所以.
(2) 因为在[0,1]上,所以.
例2.估计定积分的值的范围.
解 设,因为,所以在[-1,1]上单调减少,从而
,,因此由估值定理有:.