第五十五讲 定积分的换元积分法

    定理  假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=j(t)满足条件: 

    (1)j(a )=a , j(b)=b; 当t在[a, b]上变化时, j(t)在[a, b]上变化.

    (2)j(t)在[a, b]上单调且有连续导数. 

则有.

    这个公式叫做定积分的换元公式,可以把f(x)在区间[a, b]上的定积分转化为f [j(t)]j¢(t)在[a, b](这里a不一定小于b)上的定积分.

    例1 计算. 

解  令,则, ;

当x=0时t=0, 当x=1时.

=.

    例2 计算. 

解  令,则;当x=0时t=0, 当x=4时,=2.

====4-2ln3.

    例3 计算. 

解  令,则;

当x=ln3时t=2, 当x=ln8时,=3.

===.

例4 设函数f(x)在[-a,a]上连续(a>0),证明:

(1) 若f (x)在[-a, a]上为偶函数, 则. 

(2) 若f(x)在[-a, a]上为奇函数, 问0.

    证明   因为,

而     , 

所以   .

(1)若f (x)在[-a, a]上为偶函数,

则=.

(2)若f (x)在[-a, a]上为奇函数,则=0.

在计算对称区间上的积分时,如能判断被积函数的奇偶性,可使计算简化.