第五十六讲 定积分的分部积分法

     设函数u(x)、v(x)在区间[a, b]上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢=u¢v +u v¢得u v¢=u v-u¢v , 等式两端在区间[a, b]上积分得

, 或   ,  

这就是定积分的分部积分公式.

例5 计算下列积分:

(1) ,  (2) ,   (3) .

解:（1）==,

（2）==,

(3) ==.

关于定积分的计算的说明

定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行.在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点.

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁.尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样.例如用换元法来计算定积分

                             ，

如果计算过程中出现了新的变元：，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即

  .

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了.但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即

.

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误.后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分.