一、学习要求

掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；熟练掌握变量可分离的微分方程的解法，熟练掌握解一阶线性微分方程；会解齐次微分方程；会用降阶法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )；理解二阶线性齐次微分方程解的性质及解的结构定理； 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.

二 、内容提要

本章首先介绍了微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念和几种常用的微分方程及其解法；包括变量可分离的微分方程的解法，一阶线性微分方程的解法；一阶齐次微分方程的解法；用降阶法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )； 二阶常系数齐次线性微分方程的解法.

第六十讲 微分方程的基本概念

微分方程是微积分的具体应用.实际上微分方程问题，早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的.在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具.

引例：设曲线过原点，且曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的平方，求曲线方程.

解 依题意，有

    对(1)积分，，即

    又，代入得

    故曲线方程为

1. 微分方程的定义

凡是含有未知函数的导数（或微分）的等式，称为微分方程，如(1).

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程（简称微分方程），未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.

  注意 微分方程中必须含有未知函数的导数（或微分），可以不含有未知函数和自变量.

例如，方程

，

，

都是微分方程.

又如，方程

，

，

都不是微分方程.

2. 微分方程的阶、解与通解

微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.

例如，微分方程

，

，

都是一阶微分方程. 微分方程

，

都是二阶微分方程. 微分方程

是三阶微分方程.

一阶微分方程的一般形式是：，

二阶微分方程的一般形式是：，

阶微分方程的一般形式是：，

定义 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.

如果把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.

若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解， 如(3).

3. 初始条件与特解

用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为微分方程的初始条件， 如(2).

满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解， 如(4).

求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题，如(1)、(2).